... (vidi1.1
Reference označene s M1 odnose se na udžbenik: I. Slapničar, Matematika 1, FESB, Split, 2001.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....1.2
Ako je $ A=\emptyset$ , onda je $ F$ striktno primitivna funkcija funkcije $ f$ na intervalu $ I$ .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... parametra.1.3
Jedan oblik rekurzivne formule u kojoj smo integral izrazili pomoću istog izraza imali smo u primjeru 1.6 d).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...1.4
Vidi http://www.wolframalpha.com/calculators/integral-calculator/.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... supstitucije1.5
Radi se o svođenju izraza pod korijenom na puni kvadrat - vidi primjer.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... s2.1
Koristimo skraćene oznake $ \dot
x=\dot\varphi (t)$ i $ \dot y=\dot \psi(t)$ .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... formulom2.2
Koristimo skraćene oznake $ r=r(\varphi )$ i $ r'=r'(\varphi )$ .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... teorem2.3
Teorem navodimo bez dokaza. Dokaz je sličan dokazu teorema 2.6 s time što funkciju $ R_i(h)$ treba derivirati tri puta nakon čega treba primijeniti teorem srednje vrijednosti i dva puta integrirati.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... On-line2.4
http://lavica.fesb.unist.hr/octave/ool_hr.php.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...fig:vv3a3.1
Projekcije crtamo kao parametarski zadane krivulje u prostoru, odnosno crtamo krivulje $ (x,y,z)=(0,u,\vert u\vert)$ , $ (x,y,z)= (1,u,\sqrt{1+u^2})$ , $ (x,y,z)=(-1,u,\sqrt{1+u^2})$ , $ (x,y,z)=(u,0,\vert u\vert)$ , $ (x,y,z)=(u,1,\sqrt{1+u^2})$ , $ (x,y,z)=(u,-1,\sqrt{1+u^2})$ , $ (x,y,z)=(\cos u,\sin u,1)$ , $ (x,y,z)=(2 \cos u, 2 \sin u,2)$ i $ (x,y,z)=(3 \cos u,3 \sin u,3)$ .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... koeficijenata3.2
Svi koeficijenti su realni brojevi.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... kružnice.3.3
U rubovima je nivo-krivulja ili pak presjek s ravninom koja je paralelna s $ xz$ - ili $ yz$ -ravninom jednaka točki koju možemo interpretirati kao degeneriranu kružnicu s polumjerom 0 .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....3.4
Drugim riječima, jedan od prva dva slučaja je narušen sa strogom nejednakošću.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....3.5
Drugim riječima, jedan od prva dva slučaja je narušen sa jednakošću s nulom.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....4.1
Funkcija $ f$ je također omeđena na zatvorenom skupu $ [a,b]\times [c,d]$ po svojstvu (ii) iz poglavlja 3.3.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... krivuljom4.2
Krivulja je glatka, što znači da se sastoji od konačno glatkih dijelova; krivulja je jednostavna, što znači da ne presijeca samu sebe; i krivulja je zatvorena, što znači da počinje i završava u istoj točki.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...\space 4.3
Za više informacija vidi http://www.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... područja4.4
Integriranje ove formule po varijabli $ z$ daje formulu 4.1.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... izostavljamo4.5
Usporedi s izvodom elementa površine $ dP$ u polarnim koordinatama iz poglavlja 4.2.2.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... vrijedi4.6
Uvjerite se u ovu tvrdnju tako što ćete izračunati moment $ M_{yz}$ .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...brahistohrona.4.7
Na grčkom jeziku brahistos znači najkraći, a hronos znači vrijeme. Problem je 1696. godine postavio Johann Bernoulli, a riješio ga je iste godine Isaac Newton.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... 4.3)4.8
Prethodni integral riješili smo koristeći nestandardnu supstituciju iz koje se odmah vidi da rješenje ima oblik cikloide. Integral se može riješiti i pomoću standardne racionalne supstitucije $ x/(1-C^2x)=t^2$ (vidi poglavlje 1.7.1).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... bisekcije4.9
Vidi, na primjer, Java program http://lavica.fesb.unist.hr/matematika1/java/Bisekcija.html.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... godine5.1
Podaci su preuzeti s adrese http://en.wikipedia.org/wiki/World_population.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... godine5.2
Vidi http://www.wikipedia.org/wiki/Radium.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... ekvivalentne5.3
Drugim riječima, ako je bilo koja tvrdnja istinita, onda su istinite i ostale.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...fig:mot.5.4
Sustav je složeniji od sustava opisanog u primjeru 5.1.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... uvjetima5.5
O početnim uvjetima ovise konstante $ C_1$ i $ C_2$ , no taj dio rješenja nestaje u beskonačnosti.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... godine5.6
Vidi http://en.wikipedia.org/wiki/Tacoma_Narrows_Bridge.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... Londonu5.7
Vidi http://en.wikipedia.org/wiki/London_Millennium_Bridge.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....5.8
Opravdanost ovog postupka dokazujemo tako da funkciju $ y_P=\sum C_i   y_i$ deriviramo $ n$ puta koristeći pri tome jednakosti iz zadanog sustava te potom uvrstimo u jednadžbu (5.27).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...fig:eulrvz.5.9
Radi preglednije slike broj zečeva je podijeljen s deset, odnosno nacrtane su funkcije $ V(t)$ i $ Z(t)/10$ .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... nepoznanice6.1
Izvod ove jednadžbe dan je u sljedećem poglavlju.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... statistiku6.2
Vidi http://www.dzs.hr.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.