×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Trapezna formula     Numeričko integriranje     Richardsonova ekstrapolacija


Simpsonova formula

Simpsonovu formulu dobijemo ako umjesto linearnih koristimo kvadratne aproksimacije zadane funkcije. Preciznije, zadani interval $ [a,b]$ podijelimo na paran broj točaka $ n=2k$ , uzmemo

$\displaystyle \Delta x= \frac{b-a}{n},
$

a zadanu funkciju $ f(x)$ na intervalu $ [x_{2i-2},x_{2i}]$ , $ i=1,\ldots, k$ aproksimiramo kvadratnom parabolom $ p(x)=ax^2+bx+c$ koja prolazi kroz tri susjedne točke (slika 2.33)

$\displaystyle (x_{2i-2},y_{2i-2}),\quad (x_{2i-1},y_{2i-1}),\quad
(x_{2i},y_{2i}).
$

Slika 2.33: Simpsonova formula
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/simpsonova,width=8.0cm}
\end{center}\end{figure}

Određeni integral parabole $ p(x)$ na intervalu $ [x_{2i-2},x_{2i}]$ jednak je

$\displaystyle \int\limits _{x_{2i-2}}^{x_{2i}} (ax^2+bx+c)  dx=\frac{\Delta x}{3}  (y_{2i-2}+4  y_{2i-1} +y_{2i}).$ (2.12)

Zaista, postavimo li pomoćni koordinatni sustav tako da mu je ishodište u točki $ x_{2i-1}$ , onda je

$\displaystyle x_{2i-2}=-\Delta x, \quad x_{2i-1}=0,\quad x_{2i}=\Delta x,
$

pa uvjeti da $ p(x)$ prolazi zadanim točkama glase

$\displaystyle y_{2i-2}$ $\displaystyle =a \Delta x^2 -b \Delta x +c,$    
$\displaystyle y_{2i-1}$ $\displaystyle =c,$ (2.13)
$\displaystyle y_{2i}$ $\displaystyle =a \Delta x^2+b \Delta x +c.$    

Integral (2.12) jednak je, dakle, integralu

$\displaystyle \int\limits _{-\Delta x}^{\Delta x} (ax^2+bx+c)  dx=
a \frac{x^...
...igg\vert _{-\Delta x}^{\Delta x}
=\frac{\Delta x}{3}  (2 a  \Delta x^2+6c).
$

No, formule (2.13) povlače

$\displaystyle 2 a  \Delta x^2+6c=y_{2i-2}+4y_{2i-1}+y_{2i}
$

pa je formula (2.12) dokazana.

Konačno, zbrajanjem integrala (2.12) za $ i=1,\ldots, k$ , nakon sređivanja dobijemo Simpsonovu formulu

$\displaystyle J_n=\frac{\Delta x}{3} (y_0 + 2 ( y_2+y_4+\cdots +y_{n-2})+ 4 (y_1+y_3+\cdots+y_{n-1}) + y_n).$ (2.14)

Pogrešku Simpsonove formule daje sljedeći teorem2.3: ako je četvrta derivacija $ f^{IV}(x)$ neprekidna i omeđena na intervalu $ [a,b]$ , onda vrijedi

$\displaystyle \int\limits _a^b f(x)  dx=J_n+R,
$

pri čemu za ostatak $ R$ vrijedi ocjena

$\displaystyle \vert R\vert\leq M  \frac{b-a}{180}  \Delta x^4,\qquad M=\max_{x\in[a,b]}
\vert f^{IV}(x)\vert.
$

Primjer 2.24   Izračunajmo integral (2.10) Simpsonovom formulom za $ n=4$ . Koristeći vrijednosti dane u tablici iz primjera 2.23 imamo

$\displaystyle J_4=\frac{1}{3}\cdot\frac{\pi}{8} 
(y_0 +2y_2+4(y_1+y_3) + y_4 )\approx 1.211415.
$

Traženje broja $ M$ u gornjoj formuli za ocjenu pogreške je složeno, zato ćemo u sljedećem poglavlju pogrešku ocijeniti Richardsonovom ekstrapolacijom.


Trapezna formula     Numeričko integriranje     Richardsonova ekstrapolacija