×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Eliptički integrali     Numeričko integriranje     Simpsonova formula


Trapezna formula

Kod trapezne formule odaberemo dekompoziciju $ D$ koja dijeli interval $ [a,b]$ na $ n$ jednakih dijelova,

$\displaystyle D=\{a=x_0,x_1,\ldots, x_{n-1}, b=x_n\},
$

pa je prirast jednak

$\displaystyle \Delta x=x_i-x_{i-1} =\frac{b-a}{n}.
$

Zadanu krivulju $ y=f(x)$ aproksimiramo izlomljenom crtom koja nastaje spajanjem točaka $ (x_{i-1},y_{i-1})$ i $ (x_i,y_i)$ , a integral $ \displaystyle \int_a^b f(x)  dx$ aproksimiramo s tako dobivenom integralnom sumom $ J_n$ (vidi sliku 2.32).

Slika 2.32: Trapezna formula
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/trapezna,width=8.4cm}
\end{center}\end{figure}

Vidimo da je integralna suma zapravo suma površina dobivenih trapeza, pa odatle i ime trapezna formula. Površinu $ i$ -tog trapeza računamo kao zbroj površine pravokutnika i površine trokuta, što daje

$\displaystyle J_n$ $\displaystyle =\sum_{i=1}^n \big(\Delta x  y_{i-1}+ \Delta x  \frac{y_i-y_{i-1}}{2}\big) =\Delta x \sum_{i=1}^n \frac{y_{i-1}+y_i}{2}$    
  $\displaystyle =\Delta x  \left( \frac{y_0}{2}+y_1 +y_2+\cdots +y_{n-1} +\frac{y_n}{2}\right),$    

odnosno, trapezna formula glasi

$\displaystyle J_n=\Delta x  \left( \frac{y_0}{2}+\sum_{i=1}^{n-1} y_i +\frac{y_n}{2}\right).$ (2.11)

Pogrešku trapezne formule daje sljedeći teorem.

Teorem 2.6   Ako je druga derivacija $ f''(x)$ neprekidna i omeđena na intervalu $ [a,b]$ , onda vrijedi

$\displaystyle \int\limits _a^b f(x)  dx=J_n+R,
$

pri čemu je $ J_n$ dan formulom (2.11), a za ostatak $ R$ vrijedi ocjena

$\displaystyle \vert R\vert\leq M  \frac{b-a}{12}  \Delta x^2,\qquad M=\max_{x\in[a,b]}
\vert f''(x)\vert.
$

Dokaz.
Radi jednostavnijeg označavanja uvedimo oznaku $ h\equiv \Delta x$ . Pogreška trapezne formule na $ i$ -tom intervalu jednaka je

$\displaystyle R_i=\int\limits _{x_{i-1}}^{x_i} f(x)   dx- \frac{h}{2} (y_{i-1}+y_i).
$

Promotrimo $ R_i=R_i(h)$ kao funkciju prirasta $ h$ :

$\displaystyle R_i(h)=\int\limits _{x_{i-1}}^{x_{i-1}+h} f(x)   dx-
\frac{h}{2} [f(x_{i-1})+f(x_{i-1}+h)].
$

Koristeći pravilo o deriviranju složene funkcije imamo

$\displaystyle R_i'(h)$ $\displaystyle =f(x_{i-1}+h) -\displaystyle \frac{1}{2}   [f(x_{i-1})+f(x_{i-1}+h)]-\displaystyle \frac{h}{2}  f'(x_{i-1}+h)$    
  $\displaystyle =\displaystyle \frac{1}{2}  [f(x_{i-1}+h) - f(x_{i-1})] - \displaystyle \frac{h}{2}  f'(x_{i-1}+h),$    
$\displaystyle R_i''(h)$ $\displaystyle =\displaystyle \frac{1}{2}   f'(x_{i-1}+h) - \displaystyle \frac{1}{2}  f'(x_{i-1}+h) - \displaystyle \frac{h}{2}  f''(x_{i-1}+h)$    
  $\displaystyle =- \displaystyle \frac{h}{2}  f''(x_{i-1}+h).$    

Primijetimo da je $ R_i(0)=0$ i $ R'_i(0)=0$ . Vrijedi

$\displaystyle R'(h)-R'(0)=\int\limits _0^h R''(t)  dt,
$

odnosno

$\displaystyle R'(h)=\int\limits _0^h -\frac{1}{2}  t  f''(x_{i-1}+t)  dt.
$

Teorem o srednjoj vrijednosti 2.4 primijenjen na funkcije $ (-1/2)  t  f''(x_{i-1}+t)$ i $ t$ povlači

$\displaystyle R'(h)=-\frac{1}{2}  f''(\xi_i) \int\limits _0^h t  dt= -\frac{h^2}{4}  f''(\xi_i),
$

za neki $ \xi_i\in(x_{i-1},x_i)$ . Sada imamo

$\displaystyle R(h)-R(0)=\int\limits _0^h R'(t)  dt
$

pa je

$\displaystyle R(h)=-\frac{1}{4}  f''(\xi_i) \int\limits _0^h t^2  dt=-\frac{h^3}{12} f''(\xi_i).
$

Dakle,

$\displaystyle R_i = -\frac{(\Delta x)^3}{12} f''(\xi_i),\qquad \xi_i\in(x_{i-1},x_i).
$

Konačno,

$\displaystyle \vert R\vert\leq \sum_{i=1}^n \vert R_i\vert \leq \frac{(b-a)(\Delta
x)^2}{12}\max_{\xi\in(a,b)}\vert f''(\xi)\vert
$

i teorem je dokazan.     
Q.E.D.

Primjer 2.23   Izračunajmo integral (2.10) trapeznom formulom za $ n=4$ . Vrijednosti $ x_i$ i $ y_i$ dane su u sljedećoj tablici:

$\displaystyle \begin{array}{c\vert c\vert c}
i & x_i & y_i  \hline
0 & 0 & ...
...& 0.79057  \hline
3 & 3\pi/8 & 0.94348  \hline
4 & \pi/2 & 1
\end{array}$

Dakle,

$\displaystyle J_4=\frac{\pi}{8}  \big( \frac{y_0}{2}+y_1+y_2+y_3
+\frac{y_4}{2}\big) = 1.211051.
$

Traženje broja $ M$ u gornjoj formuli za ocjenu ostatka (pogreške) je složeno. Računanjem druge derivacije zadane funkcije može se pokazati da je $ M\leq 1$ pa formula za ocjenu pogreške iz teorema 2.6 daje $ \vert R\vert\leq 0.02$ . No, umjesto toga pogrešku možemo jednostavnije ocijeniti Richardsonovom ekstrapolacijom (poglavlje 2.7.4).


Eliptički integrali     Numeričko integriranje     Simpsonova formula