×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Supstitucija i parcijalna integracija     ODREĐENI INTEGRAL     Nepravi integral


Teoremi o određenom integralu

U ovom poglavlju dokazat ćemo još neka svojstva određenog integrala. Sljedeći teorem je analogija Cauchyjevog i Lagrangeovog teorem srednje vrijednosti (vidi [*]M1, poglavlje 5.5.2) za određeni integral, a dokazuje se pomoću Cauchyjevog teorema.

Teorem 2.4   [Teorem srednje vrijednosti] Ako su funkcije $ f,g:[a,b]\to\mathbb{R}$ neprekidne i $ g(x)\neq 0$ , onda postoji točka $ c\in(a,b)$ takva da je

$\displaystyle \frac{f(c)}{g(c)}=\frac{\displaystyle \int_a^b f(x)  dx}{\displaystyle \int_a^b g(x)  dx}.
$

Posebno (uz $ g(x)\equiv 1$ ) vrijedi

$\displaystyle f(c)=\frac{1}{b-a}\int\limits _a^b f(x)  dx.
$

Dokaz.
Neka su $ F$ i $ G$ primitivne funkcije funkcija $ f$ i $ g$ na segmentu $ [a,b]$ , redom. Kako su $ f$ i $ g$ neprekidne, to su $ F$ i $ G$ derivabilne na $ (a,b)$ . Pored toga, $ G'(x)=g(x)\neq 0$ . Dakle, funkcije $ F$ i $ G$ ispunjavaju uvjete [*] Cauchyjevog teorema, pa postoji točka $ c\in(a,b)$ takva da je

$\displaystyle \frac{f(c)}{g(c)}=\frac{F'(c)}{G'(c)}=\frac{F(b)-F(a)}{G(b)-G(a)}=
\frac{\displaystyle \int_a^b f(x)  dx}{\displaystyle \int_a^b g(x)  dx}
$

i prva tvrdnja teorema je dokazana. Druga tvrdnja slijedi iz prve ako uzmemo $ g(x)\equiv 1$ .     
Q.E.D.

Grafička interpretacija druge tvrdnje teorema je sljedeća: površina između funkcija $ f(x)$ i $ x$ -osi od $ a$ do $ b$ jednaka je površini pravokutnika s bazom $ b-a$ i visinom $ f(c)$ , s time što površina i visina mogu biti i negativne (slika 2.7). Vrijednost $ f(c)$ je srednja vrijednost funkcije $ f$ na intervalu $ [a,b]$ .

Slika 2.7: Teorem srednje vrijednosti
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/srednja,width=6.8cm}
\end{center}\end{figure}

Zadatak 2.1   Izračunajte srednju vrijednost funkcije $ f(x)=x^2$ na intervalu $ [0,1]$ .

Teorem 2.5   Neka su funkcije $ f,g:[a,b]\to\mathbb{R}$ integrabilne na $ [a,b]$ . Tada vrijedi:
i.
određeni integral je linearan:

$\displaystyle \int\limits _a^b (\alpha f(x)+\beta g(x))  dx=\alpha \int\limits _a^b f(x)  dx
+\beta \int\limits _a^b g(x)  dx,
$

ii.
određeni integral je monoton, odnosno ako je $ f(x)\leq g(x)$ za svaki $ x\in[a,b]$ , onda je

$\displaystyle \int\limits _a^b f(x)  dx\leq \int\limits _a^b g(x)  dx,
$

iii.
određeni integral zadovoljava nejednakost trokuta:

$\displaystyle \bigg\vert \int\limits _a^b f(x)  dx\bigg\vert \leq \int\limits _a^b \vert f(x)\vert  dx.
$

Dokaz.
i.
Neka su $ F$ i $ G$ primitivne funkcije od $ f$ i $ g$ , redom. Dakle, $ F'(x)=f(x)$ za $ x\in[a,b]\setminus A_f$ i $ G'(x)=g(x)$ za $ x\in[a,b]\setminus A_g$ , pri čemu su $ A_f$ i $ A_g$ diskretni podskupovi intervala $ [a,b]$ . Vrijedi $ (\alpha F(x)+\beta G(x))'=\alpha f(x)+\beta g(x)$ za $ x\in[a,b]\setminus \{ A_f \cup A_g\}$ , pri čemu je $ A_f \cup A_g$ diskretan podskup intervala $ [a,b]$ , pa je funkcija $ \alpha F+\beta G$ primitivna funkcija funkcije $ \alpha f+\beta g$ . Newton-Leibnitzova formula daje

$\displaystyle \int\limits _a^b (\alpha f(x)+\beta g(x))  dx$ $\displaystyle =\alpha F(x)+\beta G(x) \bigg\vert _a^b$    
  $\displaystyle =\alpha F(b)+\beta G(b) -(\alpha F(a)+\beta G(a))$    
  $\displaystyle =\alpha(F(b)-F(a))+\beta (G(b)-G(a))$    
  $\displaystyle =\alpha \int\limits _a^b f(x)  dx+ \beta \int\limits _a^b f(x)  dx.$    

ii.
Zbog $ f(x)\leq g(x)$ za svaku podjelu $ D$ segmenta $ [a,b]$ odgovarajuće donje sume zadovoljavaju nejednakosti

$\displaystyle d(f,D)\leq d(g,D)\leq \int\limits _a^b g(x)  dx.
$

Dakle,

$\displaystyle \int\limits _a^b g(x)  dx\geq \sup_{D\in\mathbb{D}} d(f,D)=
\int\limits _a^b f(x)  dx.
$

iii.
Svojstvo apsolutne vrijednosti realnog broja (vidi [*]M1, poglavlje 1.7.2) povlači

$\displaystyle -\vert f(x)\vert\leq f(x)\leq \vert f(x)\vert.
$

Druga tvrdnja teorema povlači

$\displaystyle -\int\limits _a^b \vert f(x)\vert  dx\leq \int\limits _a^b f(x)  dx\leq
\int\limits _a^b \vert f(x)\vert  dx,
$

pa isto svojstvo apsolutne vrijednosti (primijenjeno u obratnom smjeru) daje tvrdnju.     
Q.E.D.


Supstitucija i parcijalna integracija     ODREĐENI INTEGRAL     Nepravi integral