×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Numeričko integriranje     Numeričko integriranje     Trapezna formula

Eliptički integrali

Eliptički integrali su važna klasa integrala koji nisu elementarno rješivi, a na koji se svode mnoge tehničke primjene. Općenito, eliptički integrali prvog tipa su integrali oblika

$$\int\limits _0^{\pi/2} \frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2 x}} dx= \int\limits _0^{\pi/2} \frac{1}{\sqrt{1-k^2\cos^2 x}} dx,$$

a eliptički integrali drugog tipa su integrali oblika

$$\int\limits _0^{\pi/2} \sqrt{1-k^2\sin^2 x} dx= \int\limits _0^{\pi/2} \sqrt{1-k^2\cos^2 x} dx,$$

pri čemu je $k^2 < 1$ . Dokažimo jednakosti u gornjim formulama:

$$\int\limits _0^{\pi/2} \frac{1}{\sqrt{1-k^2\cos^2 x}} dx =\int\limits _0^{\pi/2} \frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2 (x+\pi/2)}} dx$$

$$=\left\{ \begin{aligned}t&=x+\pi/2, dt&= dx, \end{aligned}... ...rray}{c\vert c\vert c} x & 0 &\pi/2 \hline t& \pi/2 & 0 \end{array} \right\}$$

$$=\int\limits _{-\pi/2}^{0} \frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2 t}} dt =\int\limits _0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2 t}} dt,$$

pri čemu zadnja jednakost vrijedi zbog parnosti podintegralne funkcije. U jednakost gornjih integrala se lako možete uvjeriti i grafički, odnosno tako što ćete podintegralne funkcije nacrtati pomoću programa NetPlot.

Promotrimo parametarski zadanu elipsu

$$x=2\cos t, \qquad y=\sin t, \qquad t\in[0,2\pi].$$

Opseg te elipse je prema poglavlju 2.6.2 jednak

$$S =4\int\limits _0^{\pi/2} \sqrt{(-2\sin t)^2+\cos^2t} dt =4\int\limits _0^{\pi/2} \sqrt{4-3\cos^2t} dt$$

$$=8\int\limits _0^{\pi/2} \sqrt{1-\frac{3}{4}\cos^2t} dt.$$

Dakle, radi se o eliptičkom integralu drugog tipa. Tu vidimo i bitnu razliku između elipse i kružnice - dok je podjednako lako izračunati površine, opseg elipse dan je integralom koji nije elementarno rješiv.

Uvedimo oznaku

$$I =\int\limits _0^{\pi/2} \sqrt{1-\frac{3}{4}\cos^2t} dt.$$ (2.10)

Eliptički integrali se zbog svoje važnosti nalaze u mnogim matematičkim tablicama. Tako iz tablice u poznatom Bronštejnovom i Semendjajevom Matematičkom priručniku možemo očitati vrijednost

$$I\approx 1.2111$$

pa je opseg zadane elipse približno jednak $S\approx 9.6888$ .

Numeričko integriranje     Numeričko integriranje     Trapezna formula