×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Jednadžbe s konstantnim koeficijentima     Linearne diferencijalne jednadžbe drugog     Linearne diferencijalne jednadžbe višeg

Slobodna, gušena i prisilna titranja

Zanimljiv i koristan zadatak, čije rješenje se svodi na diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim koeficijentima, je odrediti ponašanje sustava koji se sastoji od mase, opruge i prigušenja (amortizera). Tijelo mase $m$ titra na opruzi koja ima koeficijent opruge $k>0$ . Sustav ima dodatno trenje (gušenje) s koeficijentom gušenja $b>0$ , a na tijelo djeluje vanjska sila $f$ .

Neka je $y(t)$ otklon tijela od položaja mirovanja u trenutku $t$ . Na tijelo djeluju sljedeće sile:

• sila jednaka umnošku mase i ubrzanja prema Newtonovom drugom zakonu gibanja,
  $$m \frac{d^2 y}{dt^2},$$

• sila gušenja koja je proporcionalna brzini,
  $$b \frac{dy}{dt},$$

• sila kojom djeluje opruga prema Hookeovom zakonu, a koja je proporcionalna otklonu od položaja mirovanja (vidi primjer 2.20),
  $$k y.$$

Navedene sile moraju biti u ravnoteži s vanjskom silom $f$ , što daje diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim koeficijentima:

$$m \frac{d^2y}{dt^2}+b \frac{dy}{dt}+k y=f(t).$$ (5.22)

Sustav je prikazan na slici 5.16.^5.4

Slika: Titranje mase obješene na oprugu uz gušenje i vanjsku silu

U najjednostavnijem slučaju kada nema ni gušenja ni vanjske sile ($b=0$ i $f(t)=0$ ), radi se o harmonijskom oscilatoru. Pripadna (homogena) diferencijalna jednadžba glasi

$$m \frac{d^2y}{dt^2}+k y=0.$$

Karakteristična jednadžba je

$$\lambda^2=-\frac{k}{m}$$

pa jednažba titranja glasi

$$y(t)=C_1\cos \alpha t+C_2\sin \alpha t,\qquad \alpha=\sqrt{\frac{k}{m}},$$

što je periodička funkcija s periodom

$$P=\frac{2\pi}{\alpha}=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}.$$

Konstante $C_1$ i $C_2$ možemo odrediti iz početnog položaja $y(t_0)=y_0$ i početne brzine $y'(t_0)=y_1$ . Nadalje, uz oznake

$$A=\sqrt{C_1^2+C_2^2},\qquad \cos\varphi =\frac{C_1}{A},\qquad \sin\varphi =\frac{C_2}{A}$$ (5.23)

imamo

$$y(t)=A ( \cos \alpha t\cos\varphi +\sin\alpha t\sin \varphi )$$

pa adicijski teorem (vidi M1, poglavlje 4.6.5) daje opću kosinusoidu

$$y(t)=A\cos(\alpha t-\varphi ).$$

U slučaju kada nema vanjske sile, diferencijalna jednadžba je homogena i glasi

$$m \frac{d^2y}{dt^2}+b \frac{dy}{dt}+k y=0.$$

Karakteristična jednadžba glasi

$$m \lambda^2 + b \lambda + k = 0$$

pa je

$$\lambda_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4 m k}}{2 m}.$$

U skladu s razmatranjima iz poglavlja 5.9.3 razlikujemo tri slučaja:

1)

ako je $b^2-4 m k>0$ , onda je $\lambda_{1,2}\in\mathbb{R}$ , $\lambda_1\neq \lambda_2$ i $\lambda_{1,2}<0$ pa je rješenje diferencijalne jednadžbe jednako

$$y=C_1 e^{\lambda_1 t}+C_2 e^{\lambda_2 t},$$

2)

ako je $b^2-4 m k=0$ , onda je $\lambda_1=\lambda_2\equiv \lambda=-b/(2 m)$ pa je rješenje diferencijalne jednadžbe jednako

$$y=C_1 e^{\lambda t}+C_2 t e^{\lambda t},$$

3)

ako je $b^2-4 m k<0$ , onda je

$$\lambda_{1,2}=-\frac{b}{2 m}\pm i \frac{\sqrt{b^2-4 m k}}{2 m}\equiv \alpha\pm i \beta$$

pa je rješenje diferencijalne jednadžbe jednako

$$y=e^{\alpha t} ( C_1\cos \beta t +C_2 \sin \beta t).$$

U sva tri slučaja vrijedi $\lim_{t\to\infty} y(t)=0$ . U prvom slučaju radi se o gušenju bez titranja, u drugom slučaju može doći do jednokratnog porasta početnog otklona nakon čega nastupa gušenje bez titranja, a u trećem slučaju radi se o gušenom titranju oko položaja ravnoteže. Primjeri ponašanja sustava dani su na slici 5.17.

Slika: Gušeno titranje

Ukoliko na sustav djeluje i vanjska sila $f$ , radi se o prisilnim oscilacijama. Sustav je opisan nehomogenom jednadžbom (5.22). Analizirat ćemo ponašanje sustava kada je vanjska sila jednaka

$$f(t)=F\cos ct, \qquad c>0.$$

Kao što smo već vidjeli, kod rješavanja pripadne homogene jednadžbe razlikujemo tri slučaja. U prvom slučaju, kada je $b^2-4 m k>0$ , rješenje pripadne homogene jednadžbe glasi

$$y_H=C_1 e^{\lambda_1 t}+C_2 e^{\lambda_2 t}.$$

Partikularno rješenje možemo naći metodom neodređenih koeficijenta koja je opisana u poglavlju 5.9.3. Iz formula (5.20) i (5.21) zaključujemo da partikularno rješenje ima oblik

$$y_P=G_1\cos ct +G_2\sin ct.$$ (5.24)

Vrijedi

$$y'_P =G_1 c (-\sin ct) + G_2 c \cos ct,$$

$$y''_P =-G_1 c^2\cos ct -G_2 c^2\sin ct.$$ (5.25)

Uvrštavanje u jednadžbu (5.22) daje

$$m (-G_1 c^2\cos ct -G_2 c^2\sin ct) +b (-G_1 c \sin ct + G_2 c \cos ct)$$

$$+ k (G_1\cos ct +G_2\sin ct)=F\cos ct.$$

Izjednačavanje koeficijenata uz $\cos ct$ i $\sin ct$ daje sustav linearnih jednadžbi s nepoznanicama $G_1$ i $G_2$ :

$$(-b c) G_1+(-m c^2+k) G_2 =0,$$

$$(-m c^2+k) G_1 + (b c) G_2 =F.$$

Cramerovo pravilo [M1, poglavlje 2.9.5] daje

$$G_1 =\frac{-F (-m c^2+k)}{-(b c)^2-(-m c^2+k)^2}=\frac{F (k-m c^2)}{(k-m c^2)^2+(b c)^2},$$

$$G_2 =\frac{-F (b c)}{-(b c)^2-(-m c^2+k)^2}=\frac{F (b c)} {(k-m c^2)^2+(b c)^2}.$$

Uz oznaku

$$h(c)^2=(k-m c^2)^2+(b c)^2$$

možemo pisati

$$y_P=\frac{F}{[h(c)]^2} [ (k-m c^2)\cos ct + (b c) \sin ct],$$

a uz oznake

$$\cos\varphi =\frac{k-m c^2}{h(c)},\qquad \sin\varphi =\frac{b c}{h(c)}$$

slijedi uobičajeni oblik partikularnog rješenja

$$y_P=\frac{F}{h(c)} (\cos ct\cos \varphi +\sin ct\sin \varphi )=\frac{F}{h(c)} \cos (ct-\varphi ).$$

Dosadašnje razmatranje omogućava nam uvid u ponašanje zadanog sustava. Opće rješenje jednadžbe (5.22),

$$y=y_H+y_P= C_1 e^{\lambda_1 t}+C_2 e^{\lambda_2 t} + \frac{F}{h(c)} \cos (ct-\varphi )$$

sastoji se od dva dijela. Prvi dio, $y_H$ , teži nuli kada $t\to\infty$ i taj dio predstavlja prijelazno rješenje. Drugi dio, $y_P$ , periodička je funkcija s periodom $P=2\pi/c$ . Kada $t\to\infty$ ponašanje sustava je periodičko i ne ovisi o početnim uvjetima^5.5, već samo o vanjskoj sili $f$ . Primjer ponašanja sustava dan je na slici 5.18. Slični zaključci vrijede i u dva preostala slučaja gušenog sustava s prisilnim oscilacijama, $b^2-4 m k=0$ i $b^2-4 m k<0$ .

Slika: Gušeni sustav s prisilnim oscilacijama

Promotrimo još sustav s prisilnim oscilacijama bez gušenja ($b=0$ ) čija jednadžba glasi

$$m \frac{d^2y}{dt^2}+k y=f(t)=F\cos ct.$$ (5.26)

Rješenje pripadne homogene jednadžbe je

$$y_H=C_1\cos \alpha t+C_2\sin \alpha t,\qquad \alpha=\sqrt{\frac{k}{m}}.$$

Razlikujemo dva slučaja. Ako je $c\neq \alpha$ , onda prema formulama (5.20) i (5.21) partikularno rješenje ima oblik (5.24). Uvrštavanje izraza (5.24) i (5.25) u jednadžbu sustava i izjednačavanje koeficijenata uz $\cos ct$ i $\sin ct$ daje sustav linearnih jednadžbi s nepoznanicama $G_1$ i $G_2$

$$(-m c^2+k) G_2 =0,$$

$$(-m c^2+k) G_1 =F.$$

Rješenje sustava je očito,

$$G_1=\frac{F}{k-m c^2}=\frac{F}{m (\alpha^2-c^2)},\qquad G_2=0$$

pa je opće rješenje jednadžbe (5.26) jednako

$$y=y_H+y_P= C_1\cos \alpha t+C_2\sin \alpha t +\frac{F}{m (\alpha^2-c^2)} \cos ct.$$

Uz oznake (5.23) imamo

$$y=A\cos(\alpha t-\varphi )+ \frac{F}{m (\alpha^2-c^2)} \cos ct.$$

Vidimo da je opće rješenje jednadžbe (5.26) zbroj dvaju periodičkih funkcija s periodima $P_1=2\pi/\alpha$ i $P_2=2\pi/c$ redom. Ako je $c/\alpha=p/q\in\mathbb{Q}$ pri čemu je $p,q\in\mathbb{N}$ i $p$ i $q$ nemaju zajedničkih faktora, onda je $y$ periodička funkcija s periodom

$$P=\frac{2\pi q}{\alpha}=\frac{2\pi p}{c}.$$

U protivnom $y$ je skoro periodična funkcija.

Potencijalno najopasniji je slučaj kada je $c=\alpha$ , odnosno kada vanjska sila i rješenje homogene jednadžbe imaju istu frekvenciju. Tada nastaje fenomen mehaničke rezonancije sustava. Prema formulama (5.20) i (5.21) partikularno rješenje ima oblik

$$y_P=t (G_1\cos \alpha t +G_2\sin \alpha t).$$

Uvrštavanje $y_P$ i $y''_P$ u jednadžbu sustava i izjednačavanje koeficijenata uz $\cos \alpha t$ i $\sin \alpha t$ daje sustav linearnih jednadžbi čije je rješenje

$$G_1=0,\qquad G_2=\frac{F}{2 \alpha m}.$$

Dakle, opće rješenje jednadžbe (5.26) u ovom slučaju glasi

$$y=y_H+y_P= A \cos (\alpha t-\varphi ) +\frac{F t}{2 \alpha m} \sin \alpha t.$$

Ovo je periodička funkcija s periodom $P=2\pi/\alpha$ . Međutim, oscilacije su neomeđene kada $t\to\infty$ (vidi sliku 5.19) pa će za dovoljno veliki $t$ doći do razbijanja sustava. Uočimo da do fenomena rezonancije ne može doći ukoliko sustav ima gušač.

Slika: Neomeđene oscilacije

Zadatak 5.16  

a)

Proučite rušenje mosta Tacoma Narrows koje se dogodilo 1940. godine^5.6. Što je uzrok kolapsa mosta?

b)

Proučite detalje sličnog problema oscilacija koji se pojavio na pješačkom mostu Millenium bridge koji je izgrađen 2000. godine u Londonu^5.7. Kako je riješen problem? Zašto vojska preko mosta nikad ne prelazi strojnim korakom?

c)

Kako izgleda automobilski amortizer i zašto?

Na kraju, primijetimo da mehanički sustav koji se sastoji od mase, opruge i gušača ima svoj električni ekvivalent. Promotrimo strujni krug koji se sastoji od kondenzatora kapaciteta $C$ farada (F), otpora od $R$ oma (Ohm) i zavojnice s induktivitetom $L$ henrija (H), a na koji djeluje elektromotorna sila koja u trenutku $t$ proizvodi napon od $E(t)$ volta (V) i struju od $I(t)$ ampera (A) (usporedi s primjerom 5.2). Krug je prikazan na slici 5.20.

Slika 5.20: Strujni krug s kondenzatorom, otporom i zavojnicom

Prema Ohmovom zakonu pad napona na otporu jednak je $RI$ . Pad napona na zavojnici jednak je $L(dI/dt)$ , a pad napona na kondenzatoru jednak je $Q/C$ , pri čemu je $Q$ naboj pozitivne ploče kondenzatora. Prema Kirchoffovom zakonu zbroj padova napona jednak je naponu kojeg daje naponski izvor, odnosno

$$L \frac{dI}{dt}+RI+\frac{Q}{C}=E(t).$$

Iz ove jednadžbe možemo dobiti linearnu jednadžbu drugog reda na dva načina: uvrštavanje $I=dQ/dt$ daje

$$L \frac{d^2Q}{dt^2}+R \frac{dQ}{dt}+\frac{1}{C} Q=E(t),$$

dok deriviranje daje

$$L \frac{d^2I}{dt^2}+R \frac{dI}{dt}+\frac{1}{C} I=E'(t).$$

Uspoređujući obje prethodne jednadžbe s jednadžbom (5.22) zaključujemo da je zavojnica ekvivalentna s masom, otpor s gušačem, a kondenzator s oprugom. Također zaključujemo da prijelazna faza rješenje odgovara zagrijavanju električnog uređaja (na primjer, televizije), dok je otpor nužan radi izbjegavanja rezonancije sustava.

Zadatak 5.17   Java program Strujni krug opisuje ponašanje ovog strujnog kruga. Provjerite ispravnost programa za neke vrijednosti parametara.

Jednadžbe s konstantnim koeficijentima     Linearne diferencijalne jednadžbe drugog     Linearne diferencijalne jednadžbe višeg