×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Oplošje rotacijskog tijela     Primjene određenog integrala     Hidrostatski tlak i sila

Sila i rad

Prema Newtonovom drugom zakonu gibanja ako se tijelo kreće po pravcu i ako je gibanje tijela dano funkcijom $s(t)$ , onda je sila $F$ koja djeluje na tijelo u smjeru kretanja jednaka umnošku mase tijela i njegove akceleracije:

$$F=m \frac{d^2 s}{dt^2}.$$

U slučaju konstantnog ubrzanja, sila $F$ je također konstantna i izvršeni rad definiramo kao umnožak sile $F$ i prijeđenog puta $d$ :

$$W=F d.$$

U slučaju kada sila nije konstantna, postupamo na sljedeći način: neka se tijelo giba uzduž $x$ -osi od točke $x=a$ do točke $x=b$ i neka u točki $x$ na tijelo djeluje sila $f(x)$ . Neka je $\{ x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ podjela segmenta $[a,b]$ (vidi definiciju 2.1) takva da su svi podintervali jednake duljine, $x_{i}-x_{i-1}=\Delta x, i=1,\ldots,n$ . U podintervalu $[x_{i-1},x_i]$ odaberimo točku $\xi_i$ . Kako je za veliki $n$ duljina intervala $\Delta x$ mala, a funkcija $f$ je neprekidna, možemo pretpostaviti da je $f$ gotovo konstantna na intervalu $[x_{i-1},x_i]$ . Stoga je rad koji se izvrši prilikom pomicanja tijela od točke $x=x_{i-1}$ do točke $x=x_i$ približno jednak

$$W_i\approx f(\xi_i) \Delta x$$

pa je cjelokupni rad približno jednak

$$W\approx\sum_{i=1}^n W_i=\sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x.$$

Intuitivno je jasno da ova aproksimacija postaje sve bolja što je $n$ veći. Kako je izraz na desnoj strani jedan oblik integralne sume, rad izvršen prilikom pomicanja tijela od točke $x=a$ do točke $x=b$ definiramo kao

$$W=\lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x =\int_a^b f(x) dx.$$

U metričkom sustavu masa se mjeri u kilogramima (kg), pomak u metrima (m) vrijeme u sekundama (s) i sila u njutnima (newton, $\mathrm{N=kg \cdot m/s^2}$ ). Dakle, sila od 1 N koja djeluje na masu od 1 kg proizvodi ubrzanje od $\mathrm{1 m/s^2}$ . Rad se mjeri u njutn-metrima ili džulima (joule, $\mathrm{J=N\cdot m}$ ).

Primjer 2.19   Ako na tijelo koje se nalazi $x$ metara od ishodišta djeluje sila od $x^2+x$ njutna, rad koji se izvrši kada se tijelo pomakne od točke $x=1 \textrm{m}$ do točke $x=4 \textrm{m}$ jednak je

$$W=\int_1^4 (x^2+x) dx=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2} \bigg\vert _1^4 = 28.5 \textrm{J}.$$

Primjer 2.20   Prema Hookeovom zakonu, sila potrebna za održavanje opruge rastegnutom $x$ jedinica udaljenosti od njene prirodne dužine proporcionalna je s $x$ :

$$f(x)=kx,$$

pri čemu je $k$ pozitivna konstanta (konstanta opruge). Hookeov zakon vrijedi ako rastezanje $x$ nije preveliko (vidi sliku 2.24).

Slika 2.24: Hookeov zakon

Neka je, na primjer, sila od 30 N potrebna da bi se držala opruga koja je od svoje prirodne duljine od $10 \mathrm{cm}$ rastegnuta na duljinu od $15 \mathrm{cm}$ . Izračunajmo rad potreban da bi se opruga dalje rastegla na duljinu od $18 \mathrm{cm}$ . Prvo je potrebno odrediti konstantu opruge $k$ : prema zadanim podacima vrijedi

$$30 \mathrm{N} = 0.05 k,\qquad k=\frac{30}{0.05}= 600 \mathrm{N/m}.$$

Dakle, $f(x)=600 x$ pa je izvršeni rad jednak

$$W=\int_{0.05}^{0.08} 600 x dx= 600 \frac{x^2}{2}\bigg\vert _{0.05}^{0.08}= 300 (0.08^2-0.05^2) = 1.17 \mathrm{J}.$$

Primjer 2.21   Rezervar oblika invertiranog stošca visine $h=10 \mathrm{m}$ i radijusa baze $r=3 \mathrm{m}$ napunjen je vodom do visine $8 \mathrm{m}$ (vidi sliku 2.25). Izračunajmo rad koji je potreban za pražnjenje rezervara i to tako da se voda ispumpa preko gornjeg ruba.

Slika 2.25: Rezervar s vodom

U ovom slučaju prvo treba postaviti integral. Uvedimo koordinatni sustav kao na slici 2.25. Voda se nalazi od dubine $2 \mathrm{m}$ do dubine $10 \mathrm{m}$ . Neka je $\{ x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ oidjela intervala $[2,10]$ takva da su svi podintervali jednake duljine, $x_{i}-x_{i-1}=\Delta x, i=1,\ldots,n$ . Na taj način smo i vodu u rezervaru podijelili na $n$ dijelova pri čemu je $i$ -ti dio približno jednak cilindru visine $\Delta x$ i radijusa baze $r_i$ . Iz sličnosti trokuta slijedi

$$\frac{r_i}{10-x_i}=\frac{3}{10}, \qquad r_i=\frac{3}{10}(10-x_i).$$

Volumen $i$ -tog dijela vode stoga je približno jednak

$$V_i\approx r_i^2 \Delta x \pi = \frac{9}{100} (10-x_i)^2 \Delta x \pi,$$

pa je masa $i$ -tog dijela vode približno jednaka (masa je umnožak gustoće i volumena, a gustoća vode je $\mathrm{1000 kg/m^3}$ )

$$m_i\approx 90 (10-x_i)^2 \Delta x \pi.$$

Sila potrebna za podizanje $i$ -tog dijela vode mora nadići silu težu pa je

$$F_i=m_ig\approx 9.81 \cdot 90 (10-x_i)^2 \Delta x \pi \approx 2774 (10-x_i)^2 \Delta x.$$

Svaka čestica u $i$ -tom dijelu vode mora prijeći put koji je približno jednak $x_i$ . Stoga je rad potreban za ispumpavanje $i$ -tog dijela vode približno jednak

$$W_i\approx F_i x_i \approx 2774 (10-x_i)^2 x_i \Delta x.$$

Ukupni rad potreban za ispumpavanje čitavog rezervara dobit ćemo zbrajanjem doprinosa svih $n$ dijelova i prelaskom na limes kada $n\to \infty$ :

$$W \approx \lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^n 2774 (10-x_i)^2 x_i \Delta x$$

$$=2774 \int_2^{10} (10-x^2) x dx$$

$$=2774 \left(50 x^2 -20 \frac{x^3}{3}+ \frac{x^4}{4}\right)\bigg\vert _2^{10}$$

$$\approx 1.90 \times 10^6 \mathrm{J}.$$

Zadatak 2.6   Neka je za rastezanje opruge od njene prirodne duljine koja iznosi $32 \mathrm{cm}$ do duljine $40 \mathrm{cm}$ potreban rad od $2 \mathrm{J}$ .

a)

Koliki je rad potreban za rastezanje opruge od $35 \mathrm{cm}$ do $42 \mathrm{cm}$ ?

b)

Na kolikoj će rastegnutosti od prirodne duljine oprugu držati sila od $20 \mathrm{N}$ ?

Zadatak 2.7   Kabel dužine $40 \mathrm{m}$ i težine $60 \mathrm{kg}$ visi s vrha nebodera. Koliki je rad potreban za povlačenje $10 \mathrm{m}$ kabela na vrh nebodera?

Zadatak 2.8   Horizontalno položen cilindrični rezervar (cisterna) duljine $10 \mathrm{m}$ i radijusa baze $1.5 \mathrm{m}$ napunjen je do polovice benzinom gustoće $\mathrm{760 kg/m^3}$ .

a)

Koliki je rad potreban da bi se gorivo ispumpalo kroz otvor koji se nalazi na vrhu rezervara?

b)

Ako se pumpa pokvari nakon rada od $10^6 \mathrm{J}$ , kolika je visina, kolika težina, a koliki volumen goriva koje je preostalo u rezervaru?

Oplošje rotacijskog tijela     Primjene određenog integrala     Hidrostatski tlak i sila