×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Sila i rad     Primjene određenog integrala     Momenti i težišta


Hidrostatski tlak i sila

Poznato je da se prilikom ronjenja tlak vode povećava s dubinom zarona i to stoga što se težina vode iznad ronioca povećava. Neka je, na primjer, tanka horizontalna ploča površine $ A$ zaronjena u tekućinu gustoće $ \rho \mathrm{kg/m^3}$ na dubinu od $ d$ metara ispod površine tekućine (slika 2.26).

Slika: Zaronjena tanka ploča
\begin{figure}\centering
\epsfig{file=slike/zaron}
\end{figure}

Tekućina koja se nalazi direktno iznad ploče ima volumen $ V=Ad$ pa je njena masa jednaka $ m=\rho V = \rho A d$ . Sila kojom ta količina vode djeluje na ploču jednaka je

$\displaystyle F=mg=\rho g A d,
$

pri čemu je $ g$ ubrzanje sile teže. Tlak ( pritisak) $ P$ definira se kao sila po jedinici površine:

$\displaystyle P=\frac{F}{A}= \rho g d.
$

Jedinica za mjerenje tlaka je paskal, odnosno njutn po metru kvadratnom (pascal, $ \mathrm{Pa=N/m^2}$ ). Paskal je jako mala jedinica pa se u praksi često koriste kilopaskali ( $ \mathrm{kPa}$ ). Na primjer, tlak na dnu bazena dubine dva metra jednak je

$\displaystyle P= \rho g d= \mathrm{1000 kg/m^3 \times 9,81  m/s^2 \times 2  m =
19620 Pa=19.62 kPa}.
$

Eksperimentalno je utvrđeno da je na svakom mjestu u tekućini pritisak jednak u svim smjerovima.

Za bolje razumijevanje hidrostatskog pritiska, izračunajmo pritisak vode na branu prikazanu na slici 2.27.

Slika 2.27: Hidrostatski pritisak na branu
\begin{figure}\centering
\epsfig{file=slike/brana,width=9cm}
\end{figure}

Brana ima oblik trapeza, visoka je $ \mathrm{40 m}$ , široka je na vrhu $ \mathrm{100 m}$ , a na dnu $ \mathrm{60 m}$ . Zrcalo vode se nalazi $ \mathrm{5 m}$ ispod vrha brane. Ako postavimo koordinatnu $ x$ -os tako da se ishodište nalazi na površini vode, dubina vode je $ 35 \mathrm{m}$ . Neka je $ \{ x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ podjela intervala $ [0,35]$ takva da su svi podintervali jednake duljine, $ x_{i}-x_{i-1}=\Delta x,   i=1,\ldots,n$ . Sada je $ i$ -ti podjeljak brane približno jednak pravokutniku visine $ \Delta x$ i širine $ 2y_i$ . Iz sličnosti trokuta slijedi

$\displaystyle \frac{a}{35-x_i}=\frac{20}{40},
$

iz čega slijedi

$\displaystyle a=\frac{35-x_i}{2},
$

pa je

$\displaystyle 2 y_i=2  (30+a)=2 \left(30+\frac{35-x_i}{2}\right)=95-x_i.
$

Površina $ i$ -tog podjeljka brane je

$\displaystyle A_i=2 y_i  \Delta x= (95-x_i) \Delta x.
$

Kako je $ \Delta x$ mali, možemo pretpostaviti da je tlak na $ i$ -tom podjeljku brane gotovo konstantan i jednak

$\displaystyle P_i=\rho g d = 1000\cdot 9.81\cdot x_i.
$

Hidrostatska sila koja djeluje na $ i$ -ti podjeljak brane jednaka je umnošku tlaka i površine:

$\displaystyle F_i=P_iA_i= 1000\cdot 9.81\cdot x_i   (95-x_i) \Delta x.
$

Zbrajanjem ovih sila i uzimanjem limesa kada $ n\to \infty$ dobili smo ukupnu hidrostatsku silu koja djeluje na branu:

$\displaystyle F$ $\displaystyle \approx \lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^n 9810  x_i   (95-x_i) \Delta x$    
  $\displaystyle =9810 \int_0^{35} x (95-x)   dx$    
  $\displaystyle =9810 \left(95   \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right)\bigg\vert _0^{35} \approx 4.31 \times 10^8  \mathrm{N}.$    

Zadatak 2.9   Bazen za plivanje dug je $ \mathrm{15 m}$ , a širok je $ \mathrm{7 m}$ , dok mu je dno ravna ploča dubine $ \mathrm{1 m}$ na plićem kraju i $ \mathrm{2 m}$ na dubljem kraju. Ako je bazen do vrha pun vode izračunajte hidrostatsku silu koja djeluje na: a) plići kraj bazena, b) dublji kraj bazena, c) jednu od bočnih stranica bazena i d) dno bazena.


Sila i rad     Primjene određenog integrala     Momenti i težišta