×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Hidrostatski tlak i sila     Primjene određenog integrala     Numeričko integriranje

Momenti i težišta

Težište ravne ploče $\mathcal{P}$ zadanog oblika je točka $T$ sa svojstvom da se ploča poduprta u toj točki nalazi u položaju ravnoteže (slika 2.28).

Slika: Težište ravne ploče

Izvod formule za težište započet ćemo poznatim Arhimedovim zakonom poluge: poluga kojoj se na kraju $x_1$ nalazi masa $m_1$ , a na kraju $x_2$ nalazi masa $m_2$ te koja je poduprta u točki $\bar x$ , bit će u ravnoteži ako je (slika 2.29)

$$m_1(\bar x-x_1)=m_2(x_2-\bar x),$$

iz čega slijedi $m_1\bar x+m_2\bar x=m_1 x_1+m_2x_2$ , odnosno

$$\bar x=\frac{m_1 x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}$$

Slika: Ravnoteža poluge

Broj $m_ix_i$ je moment mase $m_i$ u odnosu na ishodište. Slično, težište sustava od $n$ čestica s masama $m_1, m_2, \ldots, m_n$ , koje se nalaze u točkama $x_1,x_2,\ldots,x_n$ na $x$ -osi, nalazi se u točki

$$\bar x=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n m_ix_i}{\displaystyle \sum_{i=1}^nm_i}=\frac{M}{m},$$

pri čemu je $m=\sum m_i$ ukupna masa sustava, a $M=\sum m_ix_i$ moment sustava u odnosu na ishodište. Iz jednakosti $m\bar x=M$ zaključujemo sljedeće: ako bi se čestica mase $m$ nalazila u točki $\bar x$ njen moment bio bi isti kao i moment zadanog sustava.

Poopćimo sada razmatranje na sustav od $n$ čestica s masama $m_1, m_2, \ldots, m_n$ , koje se nalaze u točkama s koordinatama $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\ldots,(x_n,y_n)$ u $xy$ -ravnini. Moment sustava oko $y$ -osi jednak je

$$M_y=\sum_{i=1}^n m_ix_i,$$

moment sustava oko $x$ -osi jednak je

$$M_x=\sum_{i=1}^n m_iy_i,$$

a težište sustava je u točki $T=(\bar x,\bar y)$ , pri čemu je

$$\bar x=\frac{M_y}{m},\qquad \bar y=\frac{M_x}{m}.$$

Zadatak 2.10   Izračunajte momente i težište sustava od tri čestice s masama 2, 3 i 5 koje se nalaze u točkama $A=(-2,1)$ , $B=(2,0)$ i $C=(3,2)$ .

Promotrimo sada ravnu ploču $\mathcal{P}$ uniformne gustoće $\rho$ omeđenu s $x$ -osi, pravcima $x=a$ i $x=b$ i neprekidnim funkcijama $y=f(x)$ i $y=g(x)$ , pri čemu je $g(x)\leq f(x)$ za $x\in[a,b]$ (vidi sliku 2.30).

Slika: Ploča uniformne gustoće $\rho$

Neka je $\{ x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ podjela intervala $[a,b]$ takva da su svi podintervali jednake duljine, $x_{i}-x_{i-1}=\Delta x, i=1,\ldots,n$ . U $i$ -tom intervalu odaberimo središnju točku $\bar x_i=(x_{i-1}+x_i)/2$ . Za dovoljno mali $\Delta x$ dio ploče $\mathcal{P}$ od točke $x=x_{i-1}$ do točke $x=x_i$ možemo aproksimirati pravokutnikom $P_i$ kao na slici 2.30. Zbog uniformne gustoće ploče, težište pravokutnika $P_i$ se nalazi u točki

$$T_i=\left(\bar x_i,\frac{f(\bar x_i)+g(\bar x_i)}{2}\right).$$

Masa pravokutnika $P_i$ je

$$m_i=\rho [f(\bar x_i)-g(\bar x_i)]\Delta x.$$

Moment pravokutnika $P_i$ jednak je umnošku mase i udaljenosti težišta $T_i$ od $y$ -osi, odnosno

$$M_y(P_i)=\rho [f(\bar x_i)-g(\bar x_i)] \Delta x \bar x_i.$$

Zbrajanjem ovih momenta i uzimanje limesa kada $n\to \infty$ daje ukupni moment ploče $\mathcal{P}$ oko $y$ -osi:

$$M_y=\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n \rho \bar x_i [f(\bar x_i)-g(\bar x_i)] \Delta x = \rho \int_a^b x [f(x)-g(x)] dx.$$

Slično, moment pravokutnika $P_i$ oko $x$ -osi jednak je

$$M_x(P_i)=\rho [f(\bar x_i)-g(\bar x_i)] \Delta x \frac{f(\bar x_i)+g(\bar x_i)}{2}$$

pa je ukupni moment ploče $\mathcal{P}$ oko $x$ -osi jednak:

$$M_x=\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n \rho \frac{1}{2} [f(\bar ... ...2-g(\bar x_i)^2] \Delta x = \rho \int_a^b \frac{1}{2} [f(x)^2-g(x)^2] dx.$$

Ukupna masa ploče jednaka je umnošku gustoće i površine,

$$m=\rho \int_a^b [f(x)-g(x)] dx.$$

Težište ploče nalazi se u točki $T=(\bar x,\bar y)$ , pri čemu, kao i kod sustava od $n$ čestica, vrijedi $\bar x=M_y/m$ i $\bar y=M_x/m$ , odnosno

$$\bar x =\frac{\rho\displaystyle \int_a^b x [f(x)-g(x)] dx}{\rho \disp... ...aystyle \int_a^b x [f(x)-g(x)] dx}{\displaystyle \int_a^b [f(x)-g(x)] dx},$$

$$\bar y =\frac{\rho\displaystyle \int_a^b \frac{1}{2} [f(x)^2-g(x)^2] ... ...^b \frac{1}{2} [f(x)^2-g(x)^2] dx}{\displaystyle \int_a^b [f(x)-g(x)] dx}.$$

Napomena 2.3   Zbog uniformne gustoće ploče koordinate težišta ne ovise o gustoći. Ako ravna ploča nema uniformnu gustoću, onda za računanje koordinata težišta koristimo dvostruke integrale, dok koordinate težišta tijela računamo pomoću trostrukog integrala (vidi poglavlje 4).

Primjer 2.22   Koordinate težišta ploče omeđene parabolom $y^2=ax$ i pravcem $x=a$ su (vidi sliku 2.31):

$$\bar x =\frac{\displaystyle \int_0^a x [\sqrt{ax}-(-\sqrt{ax})]\... ...\int_0^a [\sqrt{ax}-(-\sqrt{ax})] dx} = \frac{3}{5} a,\qquad \bar y = 0.$$

Slika: Koordinate težišta ploče

Zadatak 2.11   Nađite težište polukružne ploče radijusa $r$ .

Hidrostatski tlak i sila     Primjene određenog integrala     Numeričko integriranje