×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 ODREĐENI INTEGRAL     ODREĐENI INTEGRAL     Newton-Leibnitzova formula

Definicija i osnovna svojstva

U ovom poglavlju definirat ćemo prvo podjelu segmenta, gornju i donju integralnu sumu, gornji i donji integral, te konačno određeni integral. Potom ćemo dati osnovna svojstva određenog integrala i navesti dovoljan uvjet integrabilnosti.

Definicija 2.1   Podjela (rastav ili dekompozicija) segmenta $[a,b]\subset \mathbb{R}$ je svaki konačan skup točaka $\{ x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ takav da je

$$a=x_0\leq x_1\leq x_2 \leq \cdots \leq x_{n-1} \leq x_n=b.$$

Skup svih dekompozicija segmenta $[a,b]$ označavamo s $\mathcal{D}$ .

Neka je $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ omeđena funkcija. Gornja integralna suma je broj (slika 2.1)

$$g(f,D)=\sum_{i=1}^n M_i(x_i-x_{i-1}), % =\sum_{i=1}^n M_i\Delta x_i,$$

gdje je

$$M_i=\sup\{ f(x): x\in [x_{i-1},x_i] \}.$$

Donja integralna suma je broj (slika 2.2)

$$d(f,D)=\sum_{i=1}^n m_i(x_i-x_{i-1}), % =\sum_{i=1}^n m_i\Delta x_i,$$

gdje je

$$m_i=\inf\{ f(x) : x\in [x_{i-1},x_i]\}.$$

Gornji (Riemannov) integral je broj

$$I^*=\inf \{ g(f,D) : D\in\mathcal{D} \},$$

a donji (Riemannov) integral je broj

$$I_*=\sup \{ d(f,D) : D\in\mathcal{D} \}.$$

Brojevi $I^*$ i $I_*$ sigurno postoje zbog omeđenosti funkcije $f$ te, zbog njihovih definicija, uvijek vrijedi $I_* \leq I^*$ .

Ako je $I^*=I_*$ , onda kažemo da je funkcija $f$ (Riemann) integrabilna na segmentu $[a,b]$ . Riemannov integral ili određeni integral funkcije $f$ od $a$ do $b$ je broj

$$I=I_*=I^*.$$

Određeni integral označavamo s

$$I=\int\limits _a^b f(x) dx.$$

Slika 2.1: Gornja integralna suma

Slika 2.2: Donja integralna suma

Napomena 2.1   U literaturi se određeni integral često definira i pomoću lijevih i desnih integralnih suma,

$$l(f,D) =\sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) (x_i-x_{i-1}),$$

$$r(f,D) =\sum_{i=1}^n f(x_{i}) (x_i-x_{i-1}).$$

Iz definicije 2.1 slijede osnovna svojstva i geometrijsko značenje određenog integrala:

O1.

Za svaku podjelu $D\in\mathcal{D}$ vrijedi

$$I\leq g(f,D), \qquad I\geq d(f,D).$$

O2.

Ako je $f(x)\geq 0$ za svaki $x\in[a,b]$ , onda je integral $I$ jednak površini između krivulje $y=f(x)$ i $x$ -osi od $a$ do $b$ . Naime, na slikama 2.1 i 2.2 vidimo da usitnjavanjem podjele $D$ gornje i donje integralne sume sve bolje aproksimiraju tu površinu.

O3.

Očito vrijedi

$$\int\limits _a^a f(x) dx=0.$$

O4.

Dijelovi površine koji se nalaze ispod $x$ -osi pribrajaju se s negativnim predznakom. Naime, za dio funkcije koji se nalazi ispod $x$ -osi veličine $M_i$ i $m_i$ su negativne. Iz ovog svojstva, na primjer, slijedi da je $$\int_0^{2\pi} \sin x dx=0$$ .

O5.

Za $a\leq b$ definiramo

$$\int\limits _b^a f(x) dx=-\int\limits _a^b f(x) dx.$$

Smisao ove definicije je sljedeći: kada u $$\int_a^b f(x) dx$$ varijabla $x$ ide od $a$ do $b$ , tada je prirast $dx$ pozitivan, a kada $x$ ide od $b$ prema $a$ , tada smatramo da je prirast $dx$ negativan.

O6.

Područje integracije možemo rastaviti na konačno dijelova. Na primjer, ako svi navedeni integrali postoje, onda je

$$\int\limits _a^b f(x) dx=\int\limits _a^c f(x) dx+\int\limits _c^b f(x) dx.$$

Ako je $f(x)\geq 0$ za svaki $x\in[a,b]$ i $a\leq c\leq b$ , onda je jednakost očita jer radi se o zbrajanju površina. No, zbog svojstva O5, jednakost vrijedi i kada je $c\leq a\leq b$ ili $a\leq b\leq c$ (slika 2.3). Slično zaključujemo i kada vrijednosti funkcije $f$ poprimaju bilo koji predznak.

Slika: Rastavljanje područja integracije na djelove

O7.

Funkcija $f$ je također integrabilna na svakom pod-segmentu $[c,d]\subseteq [a,b]$ . Naime, gornji i donji integrali, $I^*$ i $I_*$ , mogu biti konačni i jednaki samo ako su gornji i donji integrali $I_{[c,d]}^*$ i $I_{*[c,d]}$ konačni i jednaki za svaki pod-segment $[c,d]$ .

Sljedeći važan teorem daje dovoljan uvjet integrabilnosti funkcije $f$ . Teorem navodimo bez dokaza.

Teorem 2.1   Ako je funkcija $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ omeđena i neprekidna na skupu $[a,b]\setminus A$ , pri čemu je $A\subset[a,b]$ diskretan podskup, onda je $f$ integrabilna na $[a,b]$ .

Na primjer, kako vrijednost funkcije u jednoj točki ne utječe na površinu, za funkciju prikazanu na slici 2.4 vrijedi

$$\int\limits _0^2 f(x) dx=\int\limits _0^1 f(x) dx+\int\limits _1^2 f(x) dx=\frac{1}{2}+2+\frac{1}{2}=3,$$

bez obzira na definiranost ili vrijednost funkcije u točki $x=2$ . Slično vrijedi i za prebrojivo mnogo točaka.

Slika 2.4: Dovoljan uvjet integrabilnosti

Sljedeći primjer pokazuje što se može dogoditi kada je skup $A$ iz teorema 2.1 neprebrojiv.

Primjer 2.1   Promotrimo funkciju $f:[0,1]\to \{0,1\}$ definiranu s

$$f(x)=\begin{cases}1, & x\in\mathbb{Q}\\ 0, & x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} . \end{cases}$$

Ovu funkciju smo već promatrali (vidi M1, poglavlje 4.4.2). Funkcija $f$ je očito omeđena. Međutim, kako su skupovi $\mathbb{Q}$ i $\mathbb{R}$ gusti jedan u drugom (vidi M1, poglavlje 1.7), funkcija $f$ ima prekid u svakoj točki segmenta $[0,1]$ , odnosno ima neprebrojivo mnogo prekida. Stoga u svakoj podjeli $D$ za sve indekse $i$ vrijedi $m_i=0$ i $M_i=1$ pa je

$$d(f,D)=\sum_{i=1}^n 0 \cdot (x_i-x_{i-1}) = 0, \qquad g(f,D)=\sum_{i=1}^n 1 \cdot (x_i-x_{i-1}) = 1.$$

Dakle, $I_*=0\neq 1 =I^*$ pa funkcije $f$ nije integrabilna.

ODREĐENI INTEGRAL     ODREĐENI INTEGRAL     Newton-Leibnitzova formula