×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Nepravi integral     VIŠESTRUKI INTEGRALI     Cilindrične i sferne koordinate


Trostruki integral

Trostruki integral neprekidne funkcije $ f:D\to \mathbb{R}$ , $ D\subseteq \mathbb{R}^3$ , računamo slično kao i dvostruki integral. Ako je područje integracije kvadar,

$\displaystyle D=[a,b]\times [c,d]\times [e,g],
$

onda je

$\displaystyle \iiint\limits_D f(x,y,z)  dx  dy  dz=
\int\limits _a^b \bigg[ \int\limits _c^d \bigg( \int\limits _e^g f(x,y,z)  dz\bigg)   dy\bigg]   dx,
$

pri čemu je $ dV=dx  dy  dz$ element volumena. Kao i u slučaju dvostrukog integrala, mogući su i drugi redoslijedi integriranja.

Ako je područje $ D$ određeno relacijama

$\displaystyle a$ $\displaystyle \leq x\leq b,$    
$\displaystyle h_1(x)$ $\displaystyle \leq y\leq h_2(x),$    
$\displaystyle g_1(x,y)$ $\displaystyle \leq z\leq g_2(x,y),$    

onda je

$\displaystyle \iiint\limits_D f(x,y,z) dV = \int\limits _a^b \bigg[ \int\limit...
...\bigg(
\int\limits _{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)} f(x,y,z)  dz\bigg)  dy\bigg]  dx.
$

Tipične primjene trostrukog integrala su sljedeće:

Primjer 4.6   Odredimo volumen tijela omeđenog plohama $ z=x^2+y^2$ i $ z=\sqrt{x^2+y^2}$ . Radi se o volumenu područja između paraboloida i stošca čiji je presjek s ravninom $ y=0$ prikazan na slici 4.8.

Slika: Projekcija presjeka paraboloida i stošca na $ xz$ -ravninu
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/vi31.eps,width=8.0cm}
\end{center}\end{figure}

Za postavljanje integrala trebamo opisati područje $ D$ . Nađimo presjek zadanih ploha: izjednačavanje $ z=z$ daje jednadžbu

$\displaystyle x^2+y^2=\sqrt{x^2+y^2}
$

koja ima rješenja $ x=y=0$ i $ \sqrt{x^2+y^2}=1$ , odnosno, $ x^2+y^2=1$ . Dakle, prvo rješenje je ishodište gdje se dvije zadane plohe očito sijeku, a iz drugog rješenja vidimo da se plohe još sijeku u jediničnoj središnjoj kružnici za $ z=1$ . Stoga je zadani volumen jednak

$\displaystyle V=\int\limits _{-1}^1 \int\limits _{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}
\int\limits _{x^2+y^2}^{\sqrt{x^2+y^2}}   dz  dy  dx.
$

Integral ćemo izračunati koristeći cilindrične koordinate u sljedećem poglavlju.


Poglavlja


Nepravi integral     VIŠESTRUKI INTEGRALI     Cilindrične i sferne koordinate