Nepravi integral

☰ matematika2

Polarne koordinate Dvostruki integral Trostruki integral

Nepravi integral

Nepravi integrali funkcija više varijabli definiraju se pomoću limesa, slično kao i nepravi integral funkcije jedne varijable (vidi poglavlje 2.5). Pri tome nastupaju razni fenomeni i problemi slični fenomenima kod proučavanja limesa funkcija više varijabli (vidi poglavlje 3.2), koje nećemo detaljno izučavati. Navest ćemo samo sljedeći zanimljiv primjer.

Izračunajmo

$\displaystyle I=\int\limits _{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx.$

Geometrijski se radi o površini između krivulje $y=e^{-x^2}$ i

-osi (vidi sliku 4.6). Ovaj integral se koristi u teoriji vjerojatnosti. Naime, zadana podintegralna funkcija je vrlo slična funkciji

$\displaystyle \varphi (x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},$

što je takozvana funkcija gustoće vjerojatnosti normalne razdiobe (ili Gaussove razdiobe) s očekivanjem $\mu$ i standardnom devijacijom $\sigma$ ^4.3.

**Slika 4.6:** Funkcija $y=e^{-x^2}$
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=slike/vinep1.eps,width=8.0cm} \end{center}\end{figure}$

Parnost podintegralne funkcije i prelazak na limes daju

$\displaystyle I=2\int\limits _0^{\infty} e^{-x^2} dx=2\lim_{r\to\infty} \int\limits _0^r e^{-x^2} dx \equiv 2\lim_{r\to\infty} I_r.$

Ako $\lim I_r$ postoji, onda je

$\displaystyle \left(\lim_{r\to\infty} I_r \right)^2 = \lim_{r\to\infty} I^2_r,$

pa je

$\displaystyle I=2\sqrt{\lim_{r\to\infty} I_r^2}.$

Vrijedi

$\displaystyle I_r^2$	$\displaystyle =I_r\cdot I_r = \int\limits _0^r e^{-x^2} dx\cdot \int\limits _0^r e^{-y^2} dy= \int\limits _0^r\int\limits _0^r e^{-(x^2+y^2)} dx dy$
	$\displaystyle \equiv \iint\limits_D e^{-(x^2+y^2)} dx dy.$

Područje integracije

je, dakle, kvadrat sa stranicom

u prvom kvadrantu. Neka je

četvrtina kruga u prvom kvadrantu upisana kvadratu

i neka je $K_{\sqrt{2} r}$ četvrtina kruga u prvom kvadrantu opisana kvadratu

(vidi sliku 4.7).

**Slika:** Kvadrat s upisanom i opisanom četvrtinom kruga
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=slike/vinep2.eps,width=6.0cm} \end{center}\end{figure}$

Kako je $e^{-(x^2+y^2)}>0$ i $K_r\subset D\subset K_{\sqrt{2} r}$ , vrijedi

$\displaystyle \iint\limits_{K_r} e^{-(x^2+y^2)} dx dy\leq I_r \leq \iint\limits_{K_{\sqrt{2} r}} e^{-(x^2+y^2)} dx dy.$

(4.3)

U polarnim koordinatama vrijedi

$\displaystyle \iint\limits_{K_r} e^{-(x^2+y^2)} dx dy=\int\limits _0^{\pi/2} \int\limits _0^r e^{-t^2} t dt d\varphi .$

Uz supstituciju

vrijedi

$\displaystyle \int e^{-t^2}t dt= \frac{1}{2}\int e^{-u} du= -\frac{1}{2}\int e^{-u} =-\frac{1}{2} e^{-t^2}$

pa je

$\displaystyle \iint\limits_{K_r} e^{-(x^2+y^2)} dx dy= \frac{\pi}{2}\left(-... ...{2} e^{-t^2}\right) \bigg\vert _0^r = \frac{\pi}{4} \left(-e^{-r^2}+1\right).$