×   HOME
SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS
SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA
SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA
JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
☰   matematika2
Definicija i osnovna svojstva     VIŠESTRUKI INTEGRALI     Volumen i površina


Dvostruki integral

Dvostruki integral računamo uzastopnim računanjem dva jednostruka integrala pomoću Newton-Leibnitzove formule (vidi poglavlje 2.2). Opisat ćemo postupak integriranja u slučajevima kada je područje integracije:

Teorem 4.1   Neka je $ f:K\to\mathbb{R}$ neprekidna funkcija definirana na pravokutniku $ K=[a,b]\times [c,d]$ .4.1 Tada je

$\displaystyle \iint\limits_{K} f(x,y) dx dy= \int\limits _c^d\bigg( \int\li... ...x\bigg) dy= \int\limits _a^b\bigg( \int\limits _c^d f(x,y) dy\bigg) dx. $

Dokaz teorema temelji se na svojstvu da kod dvostrukih suma možemo zamijeniti poredak zbrajanja, odnosno

$\displaystyle \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n a_{ij} = \sum_{i=1}^m \bigg(\sum_{j=1}^n... ...um_{j=1}^n \bigg(\sum_{i=1}^n a_{ij} \bigg) = \sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^m a_{ij}. $

Detalje dokaza izostavljamo.

Primjer 4.2   Izračunajmo

$\displaystyle I=\iint\limits_{K} x y^2 dx dy $

pri čemu je $ K=[a,b]\times [c,d]$ . Prema teoremu 4.1 vrijedi

$\displaystyle I$ $\displaystyle = \int\limits _a^b \bigg(\int\limits _c^d x y^2 dy\bigg) d... ...gg] dx = \int\limits _a^b x \bigg( \frac{d^3}{3}-\frac{c^3}{3}\bigg) dx$    
  $\displaystyle = \frac{1}{3} (d^3-c^3) \frac{x^2}{2} \bigg\vert _a^b = \frac{1}{6} (d^3-c^3)(b^2-a^2).$    

Isti rezultat dobit ćemo i pomoću integrala

$\displaystyle I=\int\limits _c^d \bigg(\int\limits _a^b x y^2 dx\bigg) dy. $

Napomena 4.1   Iz primjera 4.2 vidimo da se prvo integrira po jednoj, a zatim po drugoj varijabli, pri čemu rezultat ne ovisi o redoslijedu integriranja. Slično vrijedi i kada područje integracije nije pravokutnik, kao i kod viših dimenzija.

Napomena 4.2   Integral iz primjera 4.2 je integral sa separiranim varijablama, odnosno može se rastaviti na produkt dva jednostruka integrala, što općenito nije slučaj:

$\displaystyle \int\limits _a^b \bigg(\int\limits _c^d x y^2 dy\bigg) dx=\int\limits _a^b x dx\cdot \int\limits _c^d y^2 dy. $

Ako je područje integracije $ D$ zadano dvama neprekidnim funkcijama,

$\displaystyle D=\{(x,y): a\leq x\leq b, g(x)\leq y\leq h(x)\}, $

onda je

$\displaystyle \iint\limits_D f(x,y) dx dy= \int\limits _a^b \bigg( \int\limits _{g(x)}^{h(x)} f(x,y) dy \bigg) dx. $

Primjer 4.3   Izračunajmo integral

$\displaystyle I=\iint\limits_D (x+y^2) dx dy, $

pri čemu je $ D$ područje omeđeno funkcijama $ y=x^2$ i $ y=x^4$ . Za određivanje granica integracije potrebno je skicirati područje $ D$ , što je napravljeno na slici 4.2.

Slika: Područje integracije dvostrukog integrala
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=slike/vi25.eps,width=8.0cm} \end{center}\end{figure}

Vidimo da je

$\displaystyle D=\{(x,y): -1\leq x\leq 1, x^4\leq y\leq x^2\} $

pa je

$\displaystyle I$ $\displaystyle = \int\limits _{-1}^1 \bigg( \int\limits _{x^4}^{x^2} (x+y^2) d... ... dx= \int\limits _{-1}^1 \bigg[ xy +\frac{y^3}{3} \bigg]_{x^4}^{x^2} dx$    
  $\displaystyle =\int\limits _{-1}^1 \bigg( x^3 +\frac{x^6}{3} -x^5 -\frac{x^{12}... ...rac{x^7}{21}-\frac{x^6}{6} -\frac{x^{13}}{39} \bigg]_{-1}^{1} = \frac{4}{91}.$    

No, prema napomeni 4.1 i svojstvu V2, integral možemo riješiti i integrirajući prvo po varijabli $ x$ . Područje $ D$ rastavljamo na uniju dva disjunktna područja $ D_1$ i $ D_2$ , gdje je

$\displaystyle D_1$ $\displaystyle =\{(x,y): 0\leq y\leq 1, -\sqrt[4]{y}\leq x \leq -\sqrt{y}\},$    
$\displaystyle D_2$ $\displaystyle =\{(x,y): 0\leq y\leq 1, \sqrt{y}\leq x \leq \sqrt[4]{y}\},$    

pa je

$\displaystyle I=\int\limits _{0}^1 \bigg( \int\limits _{-\sqrt[4]{y}}^{-\sqrt{y... ...limits _{\sqrt{y}}^{\sqrt[4]{y}} (x+y^2) dx\bigg) dy =\cdots=\frac{4}{91}. $

Približna vrijednost dvostrukog integrala može se dobiti koristeći Java program koji računa odgovarajuću integralnu sumu prema definiciji 4.1.


Poglavlja

Definicija i osnovna svojstva     VIŠESTRUKI INTEGRALI     Volumen i površina