×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Integriranje rastava na parcijalne     Integriranje racionalnih funkcija     Racionalne funkcije trigonometrijskih funkcija


Primjer

Kao ilustraciju postupka integriranja racionalnih funkcija riješit ćemo jedan složeniji zadatak. Neka je

$\displaystyle I=\int \frac{x^3+2x^2+3x-6}{(x+1)(x^2+2x+3)^2}  dx.
$

Prvo provjerimo da li brojnik i nazivnik imaju zajedničkih nul-točaka. Nul-točke nazivnika su

$\displaystyle x_1=-1, \qquad x_{2,3}=\frac{-2\pm\sqrt{-8}}{2}.
$

Broj $ x_4=1$ je očito jedna nul-točka brojnika. Iz

$\displaystyle (x^3+2x^2+3x-6):(x-1)=x^2+3x+6
$

slijedi da su preostale dvije nul-točke brojnika jednake $ x_{5,6}=(-3\pm \sqrt{-15})/2$ . Dakle, brojnik i nazivnik nemaju zajedničkih nul-točaka. Nadalje, kako je stupanj brojnika jednak 3, a stupanj nazivnika jednak 5, radi se o pravoj racionalnoj funkciji. Stoga možemo pristupiti rastavljanju na parcijalne razlomke.

Po formuli (1.2), rastav na parcijalne razlomke ima oblik

$\displaystyle \frac{x^3+2x^2+3x-6}{(x+1)(x^2+2x+3)^2}
= \frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+2x+3}+\frac{Dx+E}{(x^2+2x+3)^2}.
$

Množenje ove jednakost s nazivnikom daje

$\displaystyle x^3+2x^2+3x-6$ $\displaystyle =A(x^2+2x+3)^2+(Bx+C)(x+1)(x^2+2x+3)$    
  $\displaystyle \quad +(Dx+E)(x+1).$    

Sređivanje desne strane po potencijama od $ x$ daje

$\displaystyle x^3+2x^2+3x-6$ $\displaystyle =x^4(A+B)+x^3(4A+3B+C)+x^2(10A+5B+3C+D)$    
  $\displaystyle \quad +x(12A+3B+5C+D+E)+ 9A+3C+E.$    

Izjednačavanje koeficijenata uz potencije od $ x$ na lijevoj i desnoj strani daje nam sustav linearnih jednadžbi petog reda:

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcrcrcrcrcr}
A&+&B& & & & & & &=&0\\
4A&+&3B&...
...A&+&3B&+&5C&+&D&+&E&=&3\\
9A& & &+&3C& & &+&E&=&-6
\end{array}\end{displaymath}

Proširena matrica sustava glasi

$\displaystyle \left[\begin{array}{rrrrrrr}
1&1&0&0&0&\vline&0\\
4&3&1&0&0&\vli...
...&0&\vline &2\\
12&3&5&1&1&\vline&3\\
9&0&3&0&1&\vline&-6
\end{array}\right].
$

Nakon Gaussove eliminacije (vidi [*]M1, poglavlje 2.4) dobijemo rješenje sustava koje glasi

$\displaystyle A=-2,\quad B=2,\quad C=3,\quad D=3,\quad E=3.
$

Napomenimo da je u ovom slučaju Gaussovu eliminaciju najbolje započeti odozdo poništavajući redom elemente iznad dijagonale.

Dakle, zadani integral jednak je

$\displaystyle I$ $\displaystyle =-2\int \frac{  dx}{x+1} +\int \frac{2x+3}{x^2+2x+3}  dx+ 3\int \frac{x+1}{(x^2+2x+3)^2}  dx$    
  $\displaystyle = -2I_1+I_2+3I_3.$ (1.3)

Dalje imamo

$\displaystyle I_1=\int \frac{  dx}{x+1}=\left\{ \begin{aligned}x+1=t\\
  dx=...
...gned}\right\} =
\int\frac{  dt}{t}=\ln\vert t\vert+C_1=\ln\vert x+1\vert+C_1.
$

Zatim,

$\displaystyle I_2$ $\displaystyle =\int \frac{2x+3}{x^2+2x+3}  dx=\bigg\{ \begin{aligned}x^2+2x+3=...
... dx=  dt\end{aligned}\bigg\} = \int\frac{  dt}{t}+\int\frac{  dx}{(x+1)^2+2}$    
  $\displaystyle =\ln\vert t\vert+\frac{1}{2}\int \frac{  dx}{\frac{(x+1)^2}{2}+1...
...  ds \end{aligned}\bigg\}=\ln\vert t\vert +\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{ds}{s^2+1}$    
  $\displaystyle = \ln \vert x^2+2x+3\vert+\frac{1}{\sqrt{2}}\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \frac{x+1}{\sqrt{2}}+C_2.$    

Uočimo da je $ x^2+2x+3>0$ za svaki $ x$ , pa ne moramo pisati apsolutnu vrijednost.

Slično,

$\displaystyle I_3$ $\displaystyle =\int \frac{x+1}{(x^2+2x+3)^2}  dx=\bigg\{ \begin{aligned}x^2+2x...
...  dt\end{aligned}\bigg\} = \frac{1}{2}\int\frac{  dt}{t^2} =-\frac{1}{2t}+C_3$    
  $\displaystyle = -\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x^2+2x+3}+C_3.$    

Konačno, uvrštavanje integrala $ I_1$ , $ I_2$ i $ I_3$ u formulu (1.3) daje rješenje

$\displaystyle I=-2\ln\vert x+1\vert+\ln (x^2+2x+3)+\frac{1}{\sqrt{2}}\mathop{\m...
...{arctg}}\nolimits
\frac{x+1}{\sqrt{2}}-\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{x^2+2x+3}+C.
$

Zadatak 1.3  
a)
Provjerite prethodno rješenje deriviranjem.
b)
Provjerite prethodno rješenje pomoću programa Online Integral Calculator.1.4
c)
Zadajte sami nekoliko integrala racionalnih funkcija i riješite ih te rezultat provjerite deriviranjem i pomoću programa Online Integral Calculator.


Integriranje rastava na parcijalne     Integriranje racionalnih funkcija     Racionalne funkcije trigonometrijskih funkcija