Primjer

☰ matematika2

Integriranje rastava na parcijalne Integriranje racionalnih funkcija Racionalne funkcije trigonometrijskih funkcija

Primjer

Kao ilustraciju postupka integriranja racionalnih funkcija riješit ćemo jedan složeniji zadatak. Neka je

$\displaystyle I=\int \frac{x^3+2x^2+3x-6}{(x+1)(x^2+2x+3)^2} dx.$

Prvo provjerimo da li brojnik i nazivnik imaju zajedničkih nul-točaka. Nul-točke nazivnika su

$\displaystyle x_1=-1, \qquad x_{2,3}=\frac{-2\pm\sqrt{-8}}{2}.$

Broj

je očito jedna nul-točka brojnika. Iz

$\displaystyle (x^3+2x^2+3x-6):(x-1)=x^2+3x+6$

slijedi da su preostale dvije nul-točke brojnika jednake $x_{5,6}=(-3\pm \sqrt{-15})/2$ . Dakle, brojnik i nazivnik nemaju zajedničkih nul-točaka. Nadalje, kako je stupanj brojnika jednak 3, a stupanj nazivnika jednak 5, radi se o pravoj racionalnoj funkciji. Stoga možemo pristupiti rastavljanju na parcijalne razlomke.

Po formuli (1.2), rastav na parcijalne razlomke ima oblik

$\displaystyle \frac{x^3+2x^2+3x-6}{(x+1)(x^2+2x+3)^2} = \frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+2x+3}+\frac{Dx+E}{(x^2+2x+3)^2}.$

Množenje ove jednakost s nazivnikom daje

$\displaystyle x^3+2x^2+3x-6$	$\displaystyle =A(x^2+2x+3)^2+(Bx+C)(x+1)(x^2+2x+3)$
	$\displaystyle \quad +(Dx+E)(x+1).$

Sređivanje desne strane po potencijama od

daje

$\displaystyle x^3+2x^2+3x-6$	$\displaystyle =x^4(A+B)+x^3(4A+3B+C)+x^2(10A+5B+3C+D)$
	$\displaystyle \quad +x(12A+3B+5C+D+E)+ 9A+3C+E.$

Izjednačavanje koeficijenata uz potencije od

na lijevoj i desnoj strani daje nam sustav linearnih jednadžbi petog reda:

$\begin{displaymath} \begin{array}{rcrcrcrcrcr} A&+&B& & & & & & &=&0\\ 4A&+&3B&... ...A&+&3B&+&5C&+&D&+&E&=&3\\ 9A& & &+&3C& & &+&E&=&-6 \end{array}\end{displaymath}$

Proširena matrica sustava glasi

$\displaystyle \left[\begin{array}{rrrrrrr} 1&1&0&0&0&\vline&0\\ 4&3&1&0&0&\vli... ...&0&\vline &2\\ 12&3&5&1&1&\vline&3\\ 9&0&3&0&1&\vline&-6 \end{array}\right].$

Nakon Gaussove eliminacije (vidi

M1, poglavlje 2.4) dobijemo rješenje sustava koje glasi

$\displaystyle A=-2,\quad B=2,\quad C=3,\quad D=3,\quad E=3.$

Napomenimo da je u ovom slučaju Gaussovu eliminaciju najbolje započeti odozdo poništavajući redom elemente iznad dijagonale.

Dakle, zadani integral jednak je

$\displaystyle I$	$\displaystyle =-2\int \frac{ dx}{x+1} +\int \frac{2x+3}{x^2+2x+3} dx+ 3\int \frac{x+1}{(x^2+2x+3)^2} dx$
	$\displaystyle = -2I_1+I_2+3I_3.$	(1.3)

Dalje imamo

$\displaystyle I_1=\int \frac{ dx}{x+1}=\left\{ \begin{aligned}x+1=t\\ dx=... ...gned}\right\} = \int\frac{ dt}{t}=\ln\vert t\vert+C_1=\ln\vert x+1\vert+C_1.$

Zatim,

$\displaystyle I_2$	$\displaystyle =\int \frac{2x+3}{x^2+2x+3} dx=\bigg\{ \begin{aligned}x^2+2x+3=... ... dx= dt\end{aligned}\bigg\} = \int\frac{ dt}{t}+\int\frac{ dx}{(x+1)^2+2}$
	$\displaystyle =\ln\vert t\vert+\frac{1}{2}\int \frac{ dx}{\frac{(x+1)^2}{2}+1... ... ds \end{aligned}\bigg\}=\ln\vert t\vert +\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{ds}{s^2+1}$
	$\displaystyle = \ln \vert x^2+2x+3\vert+\frac{1}{\sqrt{2}}\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \frac{x+1}{\sqrt{2}}+C_2.$

Uočimo da je

za svaki

, pa ne moramo pisati apsolutnu vrijednost.

Slično,

$\displaystyle I_3$	$\displaystyle =\int \frac{x+1}{(x^2+2x+3)^2} dx=\bigg\{ \begin{aligned}x^2+2x... ... dt\end{aligned}\bigg\} = \frac{1}{2}\int\frac{ dt}{t^2} =-\frac{1}{2t}+C_3$
	$\displaystyle = -\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x^2+2x+3}+C_3.$

Konačno, uvrštavanje integrala , i u formulu (1.3) daje rješenje

$\displaystyle I=-2\ln\vert x+1\vert+\ln (x^2+2x+3)+\frac{1}{\sqrt{2}}\mathop{\m... ...{arctg}}\nolimits \frac{x+1}{\sqrt{2}}-\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{x^2+2x+3}+C.$

Zadatak 1.3

a): Provjerite prethodno rješenje deriviranjem.
b): Provjerite prethodno rješenje pomoću programa Online Integral Calculator.^1.4
c): Zadajte sami nekoliko integrala racionalnih funkcija i riješite ih te rezultat provjerite deriviranjem i pomoću programa Online Integral Calculator.

Integriranje rastava na parcijalne Integriranje racionalnih funkcija Racionalne funkcije trigonometrijskih funkcija