×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Limes     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     Plohe drugog reda


Neprekidnost

Definicija neprekidnosti funkcije više varijabla jednaka je definiciji neprekidnosti funkcije jedne varijable (vidi [*]M1, poglavlje 4.4).

Definicija 3.6   Funkcija $ f$ je neprekidna u točki $ T_0\in \mathcal{D}$ ako je

$\displaystyle \lim_{T\to T_0}f(T)=f(T_0).
$

Ako je $ f$ neprekidna u svakoj točki $ T\in A\subseteq \mathcal{D}$ kažemo da je $ f$ neprekidna na skupu $ A$ , a ako je $ A=\mathcal{D}$ kažemo da je $ f$ neprekidna funkcija.

Neka je

$\displaystyle T=(x_1,x_2,\cdots,x_n), \qquad
T_0=(x_1^0,x_2^0,\cdots,x_n^0).
$

Veličina

$\displaystyle \Delta x_i=x_i-x_i^0, \qquad i=1,2,\cdots,n,
$

je prirast varijable $ x_i$ u točki $ T_0$ . Veličina

$\displaystyle \Delta u=u-u_0, \qquad u=f(T), \quad u_0=f(T_0),
$

zove se prirast funkcije $ f$ u točki $ T_0$ . Iz definicije 3.6 slijedi da je $ f$ neprekidna u točki $ T_0$ ako i samo ako je $ \displaystyle \lim_{T\to T_0}[f(T)-f(T_0)]=0$ ili ekvivalentno

$\displaystyle \lim_{\Delta x_1\to 0,\ldots, \Delta x_n\to 0} \Delta u=0,
$

odnosno ako i samo ako prirast funkcije $ f$ u točki $ T_0$ teži nuli čim prirasti svih varijabli $ x_i$ istovremeno teže nuli.

Svojstva neprekidnih funkcija više varijabla su slična svojstvima neprekidnih funkcija jedne varijable. Navedimo neka od tih svojstava:

i.
Neka je funkcija $ f$ neprekidna i neka je $ f(T_0)>0 (<0)$ u nekoj točki $ T_0\in \mathcal{D}$ . Tada postoji okolina točke $ T_0$ za koju vrijedi

$\displaystyle T\in K(T_0,\delta)\Rightarrow f(T)>0 (<0).
$

ii.
Neka je funkcija $ f$ neprekidna i neka je $ A\subseteq \mathcal{D}$ zatvoren i omeđen podskup domene $ \mathcal{D}$ . Tada funkcija $ f$ na skupu $ A$ dostiže svoju najmanju i svoju najveću vrijednost u nekim točkama. Drugim riječima, postoje točke $ T_1,T_2\in A$ takve da je

$\displaystyle T\in A \Rightarrow f(T_1)\leq f(T)\leq f(T_2),
$

odnosno (vidi sliku 3.11)

$\displaystyle f(T_1)=\min_{T\in A}f(T),\qquad f(T_2)=\max_{T\in A}f(T).
$

Slika 3.11: Neprekidna funkcija na zatvorenom skupu
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/svnep.eps,width=10.0cm}
% \includegraphics[width=10cm]{slike/svnep.png}
\end{center}\end{figure}

iii.
Ako su funkcije $ f,g:\mathcal{D}\to \mathbb{R}$ , $ \mathcal{D}\subseteq \mathbb{R}^n$ , neprekidne, onda su zbroj $ f+g$ , razlika $ f-g$ , produkt $ fg$ i kvocijent $ f/g$ (uz uvjet $ g\neq 0$ ) također neprekidne funkcije.


Limes     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     Plohe drugog reda