×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Limes     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     Plohe drugog reda

Neprekidnost

Definicija neprekidnosti funkcije više varijabla jednaka je definiciji neprekidnosti funkcije jedne varijable (vidi M1, poglavlje 4.4).

Definicija 3.6   Funkcija $f$ je neprekidna u točki $T_0\in \mathcal{D}$ ako je

$$\lim_{T\to T_0}f(T)=f(T_0).$$

Ako je $f$ neprekidna u svakoj točki $T\in A\subseteq \mathcal{D}$ kažemo da je $f$ neprekidna na skupu $A$ , a ako je $A=\mathcal{D}$ kažemo da je $f$ neprekidna funkcija.

Neka je

$$T=(x_1,x_2,\cdots,x_n), \qquad T_0=(x_1^0,x_2^0,\cdots,x_n^0).$$

Veličina

$$\Delta x_i=x_i-x_i^0, \qquad i=1,2,\cdots,n,$$

je prirast varijable $x_i$ u točki $T_0$ . Veličina

$$\Delta u=u-u_0, \qquad u=f(T), \quad u_0=f(T_0),$$

zove se prirast funkcije $f$ u točki $T_0$ . Iz definicije 3.6 slijedi da je $f$ neprekidna u točki $T_0$ ako i samo ako je $$\lim_{T\to T_0}[f(T)-f(T_0)]=0$$ ili ekvivalentno

$$\lim_{\Delta x_1\to 0,\ldots, \Delta x_n\to 0} \Delta u=0,$$

odnosno ako i samo ako prirast funkcije $f$ u točki $T_0$ teži nuli čim prirasti svih varijabli $x_i$ istovremeno teže nuli.

Svojstva neprekidnih funkcija više varijabla su slična svojstvima neprekidnih funkcija jedne varijable. Navedimo neka od tih svojstava:

i.

Neka je funkcija $f$ neprekidna i neka je $f(T_0)>0 (<0)$ u nekoj točki $T_0\in \mathcal{D}$ . Tada postoji okolina točke $T_0$ za koju vrijedi

$$T\in K(T_0,\delta)\Rightarrow f(T)>0 (<0).$$

ii.

Neka je funkcija $f$ neprekidna i neka je $A\subseteq \mathcal{D}$ zatvoren i omeđen podskup domene $\mathcal{D}$ . Tada funkcija $f$ na skupu $A$ dostiže svoju najmanju i svoju najveću vrijednost u nekim točkama. Drugim riječima, postoje točke $T_1,T_2\in A$ takve da je

$$T\in A \Rightarrow f(T_1)\leq f(T)\leq f(T_2),$$

odnosno (vidi sliku 3.11)

$$f(T_1)=\min_{T\in A}f(T),\qquad f(T_2)=\max_{T\in A}f(T).$$

Slika 3.11: Neprekidna funkcija na zatvorenom skupu

iii.

Ako su funkcije $f,g:\mathcal{D}\to \mathbb{R}$ , $\mathcal{D}\subseteq \mathbb{R}^n$ , neprekidne, onda su zbroj $f+g$ , razlika $f-g$ , produkt $fg$ i kvocijent $f/g$ (uz uvjet $g\neq 0$ ) također neprekidne funkcije.

Limes     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     Plohe drugog reda