×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Taylorova formula     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     Implicitno zadane funkcije

Ekstremi funkcija više varijabla

Definicija 3.11   Funkcija $f$ ima u točki $T_0$ lokalni minimum (maksimum) ako postoji okolina $K(T_0,\delta)\subseteq D$ takva da za sve $T\in K(T_0,\delta)\setminus\{T_0\}$ vrijedi

$$f(T)>f(T_0)\quad (f(T)<f(T_0)).$$

Točke lokalnih minimuma i točke lokalnih maksimuma funkcije $f$ zajedničkim imenom zovemo točkama lokalnih ekstrema funkcije $f$ . Kao i kod funkcija jedne varijable, ukoliko je funkcija $f$ više varijabla neprekidna te barem dvaput derivabilna u nekoj okolini promatrane točke $T_0$ , možemo dati nužne i dovoljne uvjete da bi $f$ imala lokalni ekstrem u $T_0$ izražene pomoću vrijednosti parcijalnih derivacija od $f$ u promatranoj točki. Ti su uvjeti analogni onima za funkcije jedne varijable, ali dakako nešto složenije izraženi.

Teorem 3.7   [Nužan uvjet ekstrema] Neka funkcija $f$ ima lokalni ekstrem u točki $T_0$ . Ako postoji parcijalna derivacija od $f$ po varijabli $x_i$ u točki $T_0$ , onda je

$$f'_{x_i}(T_0)=0.$$

Dokaz.

Ako funkcija $f$ ima lokalni ekstrem u točki $T_0$ , onda za fiksirani indeks $i$ funkcija jedne varijable $g:\mathcal{D}_i\to \mathbb{R}$ definirana s

$$g(x)=f(x_1^0,\cdots,x_{i-1}^0,x,x_{i+1}^0,\cdots,x_n^0),\qquad x\in \mathcal{D}_i,$$

gdje je $\mathcal{D}_i=\{x\in\mathbb{R}\mid (x_1^0,\cdots,x_{i-1}^0,x,x_{i+1}^0,\cdots,x_n^0) \in D\}$ , ima u točki $x_i^0$ lokalni ekstrem. Ako postoji parcijalna derivacija od $f$ po varijabli $x_i$ u točki $T_0$ onda je

$$f'_{x_i}(T_0)=g'(x_i^0).$$

Nužan uvjet ekstrema funkcije jedne varijable povlači $g'(x_i^0)=0$ pa mora biti $f'_{x_i}(T_0)=0$ .     

Q.E.D.

Napomena 3.7   Ako je funkcija $f$ iz iskaza teorema 3.7 diferencijabilna u točki $T_0$ , onda se nužan uvjet ekstrema

$$f'_{x_i}(T_0)=0,\qquad\forall i=1,\cdots, n,$$

može iskazati pomoću diferencijala kao

$$df(T_0)=0.$$

Kao što ćemo vidjeti, ovaj uvjet je nužan, ali ne i dovoljan. Ako je funkcija $f$ diferencijabilna u točki $T_0$ i pri tom je $df(T_0)=0$ , kažemo da je $T_0$ stacionarna točka funkcije $f$ . U slučaju funkcije dviju varijabla ($n=2$ ) stacionarna točka $(x_0,y_0)$ je točka u kojoj je tangencijalna ravnina na plohu $z=f(x,y)$ paralelna s $xy$ -ravninom. Naime, prema poglavlju 3.7 jednadžba tangencijalne ravnine glasi

$$z=z_0,\quad z_0=f(x_0,y_0).$$

Primjer 3.16  

a)

Točka $(-1,2)$ je stacionarna točka funkcije

$$f(x,y)=x^2+2x+y^2-4y+3,\qquad (x,y)\in \mathbb{R}^2$$

jer je ta funkcija beskonačno puta diferencijabilna s parcijalnim derivacijama prvog reda

$$f'_x(x,y)=2x+2,\qquad f'_y(x,y)=2y-4$$

i očito je $f'_x(-1,2)=0$ i $f'_y(-1,2)=0$ . Nadalje točka $(-1,2)$ je i točka lokalnog minimuma (ujedno i točka globalnog minimuma na $\mathbb{R}^2$ ) funkcije $f$ jer je

$$f(x,y)=(x+1)^2+(y-2)^2-2>-2=f(-1,2),\quad\forall (x,y)\neq(-1,2).$$

Jednadžba tangencijalne ravnine na plohu $z=x^2+2x+y^2-4y+3$ u točki $(-1,2)$ glasi $z=-2$ (vidi sliku 3.27).

Slika 3.27: Lokalni minimum

b)

Funkcija

$$f(x,y)=xy,\quad (x,y)\in\mathbb{R}^2$$

je beskonačno puta diferencijabilna, a parcijalne derivacije prvog reda su joj

$$f'_x(x,y)=y, f'_y(x,y)=x.$$

Očito je $f'_x(0,0)=0$ i $f'_y(0,0)=0$ , pa je točka $(0,0)$ stacionarna točka za ovu funkciju. Međutim točka $(0,0)$ nije točka lokalnog ekstrema funkcije $f$ . Naime, u svakoj okolini točke $(0,0)$ postoje točke oblika $(t,t)$ , $t\neq 0$ , u kojima je

$$f(t,t)=t^2>0=f(0,0),$$

ali isto tako i točke oblika $(t,-t)$ , $t\neq 0$ u kojima je

$$f(t,-t)=-t^2<0=f(0,0).$$

Stoga zaključujemo da $(0,0)$ nije ni točka lokalnog maksimuma ni točka lokalnog minimuma. Točku $(0,0)$ zovemo sedlastom točkom plohe $z=xy$ . Jednadžba tangencijalne ravnine na plohu $z=xy$ u točki $(0,0)$ glasi $z=0$ (vidi sliku 3.28).

Slika: Sedlasta točka

c)

Funkcija

$$f(x,y)=1-x^2-2x-\vert y-2\vert,\quad (x,y)\in D=\mathbb{R}^2$$

ima u točki $(-1,2)$ lokalni i globalni maksimum na skupu $D$ jer je

$$f(x,y)=2-(x+1)^2-\vert y-2\vert<2=f(-1,2),\quad\forall (x,y)\neq(-1,2).$$

Međutim točku $(-1,2)$ ne možemo nazvati stacionarnom točkom smislu napomene 3.7 jer $f$ nije diferencijabilna u toj točki. Naime, lako se vidi da je $f'_x(-1,2)=0$ , ali i da $f'_y(-1,2)$ ne postoji. Prema tome, tangencijalna ravnina na plohu $z=1-x^2-2x-\vert y-2\vert$ u točki $(-1,2)$ ne postoji (vidi sliku 3.29).

Slika: Lokalni maksimum u nestacionarnoj točki

Kako smo vidjeli u gornjem primjeru, stacionarnost neke točke nije dovoljan uvjet da bi ta točka bila točka lokalnog ekstrema. Da bismo mogli dati primjenjive dovoljne uvjete moramo, kao i u slučaju funkcija jedne varijable, koristiti derivacije viših redova. Iz definicije 3.11 vidljivo je da je $T_0$ točka lokalnog ekstrema funkcije $f$ ako i samo ako je razlika $f(T)-f(T_0)$ stalnog predznaka u nekoj okolini $K(T_0,\delta)$ točke $T_0$ . Za ocjenu predznaka te razlike najprikladnije je upotrijebiti Taylorovu formulu iz teorema 3.6 za $m=1$ , što znači korištenje parcijalnih derivacija od $f$ do uključivo drugog reda. Formula se dodatno pojednostavnjuje uvažavanjem nužnog uvjeta $df(T_0)=0$ .

Dakle, uz pretpostavku da je $f$ funkcija od $n$ varijabla koja u nekoj okolini $K(T_0,\delta)\subseteq D$ stacionarne točke $T_0=(x_1^0,\cdots,x_n^0)$ ima neprekidne parcijalne derivacije do uključivo drugog reda, primjenom Taylorove formule s Lagrangeovim oblikom ostatka $R_1(T)$ dobivamo da za svaku točku $T=(x_1,\cdots,x_n)\in K(T_0,\delta)$ vrijedi

$$f(T)-f(T_0)=\frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^n(x_i-x_i^0) \frac{\partial}{\partial x_i}\right)^2f(T_\theta).$$

U daljnjoj analizi ključno je uočiti da se, zbog pretpostavljene neprekidnosti svih parcijalnih derivacija drugog reda funkcije $f$ , ostatak

$$R_1(T)=\frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^n(x_i-x_i^0) \frac{\partial}{\partial x_i}\right)^2f(T_\theta)$$

i veličina

$$\tilde{R}_1(T)=\frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^n(x_i-x_i^0) \frac{\partial}{\partial x_i}\right)^2f(T_0)$$

vrlo malo razlikuju čim je točka $T$ dovoljno blizu točki $T_0$ , odnosno, čim je $d(T_0,T)$ dovoljno maleno. Posljedica toga su sljedeća četiri zaključka:

a)

Ako je $\tilde{R}_1(T)>0$ za sve $T\in K(T_0,\delta)\setminus\{T_0\}$ , onda funkcija $f$ ima lokalni minimum u točki $T_0$ .

b)

Ako je $\tilde{R}_1(T)<0$ za sve $T\in K(T_0,\delta)\setminus\{T_0\}$ , onda funkcija $f$ ima lokalni maksimum u točki $T_0$ .

c)

Ako $\tilde{R}_1(T)$ mijenja predznak na $K(T_0,\delta)\setminus\{T_0\}$ , odnosno ako je $\tilde{R}_1(T)>0$ u nekim točkama $T\in K(T_0,\delta)\setminus\{T_0\}$ i $\tilde{R}_1(T)<0$ u nekim točkama $T\in K(T_0,\delta)\setminus\{T_0\}$ , onda funkcija $f$ nema lokalni ekstrem u točki $T_0$ . Kažemo da je $T_0$ sedlasta točka funkcije $f$ .

d)

Ako je $\tilde{R}_1(T)\geq 0$ za sve $T\in K(T_0,\delta)\setminus\{T_0\}$ i ako postoji točka $T\neq T_0$ u kojoj je $\tilde{R}_1(T)=0$ ili ako je $\tilde{R}_1(T)\leq 0$ za sve $T\in K(T_0,\delta)\setminus\{T_0\}$ i postoji točka $T\neq T_0$ u kojoj je $\tilde{R}_1(T)=0$ , onda ne možemo zaključiti je li $T_0$ točka lokalnog ekstrema funkcije $f$ .

Nastupanje bilo kojeg od gore navedenih četiriju slučajeva zavisi isključivo o vrijednostima parcijalnih derivacija drugog reda funkcije $f$ u promatranoj točki $T_0$ . Vrijedi sljedeći teorem:

Teorem 3.8   [Dovoljni uvjeti ekstrema] Neka je $T_0$ stacionarna točka funkcije $f$ . Neka $f$ ima neprekidne parcijalne derivacije do uključivo drugog reda u nekoj okolini $K(T_0,\delta)\subseteq D$ . Uvedimo oznake

$$A_{ij}=f''_{x_ix_j}(T_0),\qquad i,j=1,2,\cdots,n.$$

Za $r=1,2,\cdots,n,$ definirajmo veličine $\Delta_r$ :

$$\Delta_1=A_{11},\quad \Delta_r= \left\vert \begin{matrix} A_{11}... ...dots\\ A_{r1} & \cdots & A_{rr} \end{matrix}\right\vert, \quad r=2,\cdots,n.$$

Tada vrijedi:

i.

Ako je $\Delta_r>0$ za sve indekse $r$ , onda funkcija $f$ ima lokalni minimum u točki $T_0$ .

ii.

Ako je $\Delta_r<0$ za sve neparne indekse $r$ i $\Delta_r>0$ za sve parne indekse $r$ , onda funkcija $f$ ima lokalni maksimum u točki $T_0$ .

iii.

Ako je $\Delta_r<0$ za barem jedan paran indeks $r$ ili ako postoje dva neparna indeksa $r$ i $r'$ takva da je $\Delta_r>0$ i $\Delta_{r'}<0$ , onda funkcija $f$ nema lokalni ekstrem u točki $T_0$ .^3.4

iv.

Ako je $\Delta_r\geq 0$ za sve indekse $r$ i $\Delta_r= 0$ za barem jedan indeks $r$ ili ako je $\Delta_r\leq 0$ za sve neparne indekse $r$ , $\Delta_r\geq 0$ za sve parne indekse $r$ i $\Delta_r= 0$ za barem jedan indeks $r$ , onda $f$ može, ali i ne mora, imati lokalni ekstrem u točki $T_0$ .^3.5

Napomena 3.8  

a)

Prema Schwarzovom teoremu za brojeve $A_{ij}$ iz iskaza teorema 3.8 vrijedi $A_{ji}=A_{ij}$ , odnosno matrica $A=(A_{ij})$ je simetrična. Dokaz samog teorema osniva se na na nužnim i dovoljnim uvjetima uz koje je kvadratna forma definirana simetričnom matricom $A$ pozitivno ili negativno definitna (semidefinitna) ili indefinitna te ga izostavljamo.

b)

Za funkciju dviju varijabla koja u nekoj okolini $K(T_0,\delta)\subseteq D$ stacionarne točke $T_0=(x_0,y_0)$ ima neprekidne druge parcijalne je

$$A_{11}=f''_{xx}(x_0,y_0),\quad A_{12}=A_{21}=f''_{xy}(x_0,y_0), \quad A_{22}=f''_{yy}(x_0,y_0).$$

Dakle,

$$\Delta_1=A_{11},\qquad \Delta_2=A_{11}A_{22}-A^2_{12},$$

pa se tvrdnje teorema 3.8 svode na sljedeća četiri slučaja:

i.

Ako je $\Delta_1>0$ i $\Delta_2>0$ , onda funkcija $f$ ima lokalni minimum u točki $(x_0,y_0)$ .

ii.

Ako je $\Delta_1<0$ i $\Delta_2>0$ , onda funkcija $f$ ima lokalni maksimum u točki $(x_0,y_0)$ .

iii.

Ako je $\Delta_2<0$ , onda funkcija $f$ nema lokalni ekstrem u točki $(x_0,y_0)$ .

iv.

Ako je $\Delta_2=0$ onda funkcija $f$ može, ali i ne mora, imati lokalni ekstrem u točki $(x_0,y_0)$ .

Primjer 3.17  

a)

Za funkciju iz primjera 3.16 a)

$$f(x,y)=x^2+2x+y^2-4y+3,\qquad (x,y)\in \mathbb{R}^2$$

jedina stacionarna točka je $(-1,2)$ . Parcijalne derivacije drugog reda od $f$ su konstantne funkcije,

$$f''_{xx}(x,y)=2,\quad f''_{xy}(x,y)=f''_{yx}(x,y)=0,\quad f''_{yy}(x,y)=2,$$

pa u točki $(-1,2)$ imamo

$$\Delta_1=2>0,\qquad \Delta_2=\left\vert \begin{matrix}2&0 0&2\end{matrix}\right\vert=4>0.$$

Prema teoremu 3.8 a) funkcija $f$ ima lokalni minimum u točki $(-1,2)$ .

b)

Za funkciju iz primjera 3.16 b)

$$f(x,y)=xy,\qquad (x,y)\in\mathbb{R}^2$$

jedina stacionarna točka je $(0,0)$ . Parcijalne derivacije drugog reda funkcije $f$ konstantne su funkcije

$$f''_{xx}(x,y)=0,\quad f''_{xy}(x,y)=f''_{yx}(x,y)=1,\quad f''_{yy}(x,y)=0,$$

pa u točki $(0,0)$ imamo

$$\Delta_1=0,\qquad \Delta_2=\left\vert \begin{matrix}0&1 1&0\end{matrix}\right\vert=-1<0.$$

Prema teoremu 3.8 c) funkcija $f$ u točki $(0,0)$ nema lokalni ekstrem.

c)

Funkcija iz primjera 3.16 c)

$$f(x,y)=1-x^2-2x-\vert y-2\vert,\quad (x,y)\in\mathbb{R}^2$$

ima lokalni maksimum u točki $(-1,2)$ , ali taj zaključak ne možemo dobiti primjenom teorema 3.8 jer funkcija $f$ nema neprekidne sve parcijalne derivacije drugog reda pa ne udovoljava pretpostavkama teorema.

d)

Funkcija triju varijabla

$$f(x,y,z)=-2x^2-y^2-3z^2,\quad (x,y,z)\in\mathbb{R}^3$$

je beskonačno puta diferencijabilna, a parcijalne derivacije prvog reda su

$$f_x(x,y,z)=-4x,\qquad f'_y(x,y,z)=-2y,\qquad f'_z(x,y,z)=-6z.$$

Očito je $(0,0,0)$ jedina stacionarna točka funkcije $f$ . Parcijalne derivacije drugog reda funkcije $f$ su konstantne (prema Schwarzovom teoremu dovoljno ih je izračunati šest)

$$f''_{xx}=-4,\quad f''_{xy}=f''_{xz}=0,\quad f''_{yy}=-2, \quad f''_{yz}=0, \quad f''_{zz}=-6,$$

pa u točki $(0,0,0)$ imamo

$$\Delta_1 =-4<0,$$

$$\Delta_2 =\left\vert \begin{matrix}-4&0 0&-2\end{matrix}\right\vert=8>0,$$

$$\Delta_3 =\left\vert \begin{matrix}-4&0&0 0&-2&0 0&0&-6\end{matrix}\right\vert=-48<0.$$

Prema teoremu 3.8 b) funkcija $f$ ima u točki $(0,0,0)$ lokalni maksimum.

e)

Slično kao u prethodnom primjeru funkcija triju varijabla

$$f(x,y,z)=2x^2+y^2-3z^2,\quad (x,y,z)\in\mathbb{R}^3$$

je beskonačno puta diferencijabilna, a parcijalne derivacije prvog reda su joj

$$f_x(x,y,z)=4x,\qquad f'_y(x,y,z)=2y,\qquad f'_z(x,y,z)=-6z.$$

Opet je $(0,0,0)$ jedina stacionarna točka od $f$ , a parcijalne derivacije drugog reda su sada

$$f''_{xx}=4,\quad f''_{xy}=f''_{xz}=0,\quad f''_{yy}=2, \quad f''_{yz}=0, \quad f''_{zz}=-6.$$

U točki $(0,0,0)$ imamo

$$\Delta_1 =4>0,$$

$$\Delta_2 =\left\vert \begin{matrix}4&0 0&2\end{matrix}\right\vert=8>0,$$

$$\Delta_3 =\left\vert \begin{matrix}4&0&0 0&2&0 0&0&-6\end{matrix}\right\vert=-48<0,$$

pa prema teoremu 3.8 c) funkcija $f$ u točki $(0,0,0)$ nema lokalni ekstrem.

f)

Za ilustraciju zaključka d) teorema 3.8, pogledajmo sljedeće dvije funkcije triju varijabla

$$f(x,y,z) =x^2+y^2+z^4,$$

$$g(x,y,z) =x^2+y^2+z^3,\qquad (x,y,z)\in\mathbb{R}^3.$$

Točka $(0,0,0)$ je točka lokalnog minimuma funkcije $f$ jer je očito

$$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^4>0=f(0,0,0),\qquad \forall (x,y,z)\neq (0,0,0).$$

Nadalje, točka $(0,0,0)$ nije točka lokalnog ekstrema funkcije $g$ , što odmah slijedi iz sljedećih dviju nejednakosti

$$g(0,0,t)=t^3>0 =g(0,0,0),$$

$$g(0,0,-t)=-t^3<0 =g(0,0,0),\qquad \forall t>0.$$

S druge strane točka $(0,0,0)$ je jedina stacionarna točka i od $f$ i od $g$ , što se lako provjeri. Jednostavnim računom parcijalnih derivacija drugog reda u točki$(0,0,0)$ za obje funkcije dobivamo

$$\Delta_1=2>0,\quad \Delta_2=\left\vert \begin{matrix}2&0 0&2\en... ...lta_3=\left\vert \begin{matrix}2&0&0 0&2&0 0&0&0\end{matrix}\right\vert=0,$$

odnosno radi se o slučaju d) teorema 3.8.

Taylorova formula     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     Implicitno zadane funkcije