previous up next
Natrag: Volumen rotacionog tijela Gore: Primjene određenog integrala   Naprijed: Sila i rad  


Oplošje rotacionog tijela

Postupak računanja oplošja (površine plašta) rotacionog tijela još se naziva komplanacija plohe. Površinu plašta rotacionog tijela od točke $ x=a$ do točke $ x=b$ računamo kao beskonačnu (integralnu) sumu beskonačno malih elemenata oplošja. Element oplošja $ dO$ je površina plašta krnjeg stošca čiji je radijus jedne baze jednak $ y=f(x)$, radijus druge baze jednak $ y+dy=f(x)+f'(x)  dx$, a duljina izvodnice jednaka $ ds=\sqrt{  dx^2+  dy^2}$ (slika 2.23). Zapravo, u ovom slučaju duljinu luka krivulje u okolini točke $ x$ aproksimiramo elementom duljine luka $ ds$ kao što smo to učinili u poglavlju 2.6.2.

Slika 2.23: Oploje rotacionog tijela i element oploja
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/oplosje,width=9.0cm}
\end{center}\end{figure}

Površina plašta krnjeg stošca baznih radijusa $ r_1$ i $ r_2$ i izvodnice $ s$ jednaka je

$\displaystyle P=s (r_1+r_2) \pi.
$

Dakle, u našem slučaju vrijedi

$\displaystyle dO=ds (\vert y\vert+\vert y+  dy\vert)  \pi=
2  \vert y\vert ds   \pi \pm 2  dy  ds \pi.
$

U ovoj formuli smo uzeli apsolutne vrijednosti, jer se radi o radijusima koji ne mogu biti negativni. Kako je drugi pribrojnik, $ 2  dy  ds \pi$, infinitezimalno manji od prvog, možemo ga zanemariti, pa je konačno element oplošja dan s (formalan dokaz izostavljamo)

$\displaystyle dO=2  \vert y\vert dS   \pi.
$

U Kartezijevim koordinatama element duljine luka $ dS$ dan je izrazom (2.4) pa se oplošje rotacionog tijela računa formulom

$\displaystyle O=\int\limits _{[a,b]} dO =2  \pi \int\limits _a^b \vert y\vert  \sqrt{1+y^{\prime 2}}   dx.
$

Za parametarski zadanu krivulju

$\displaystyle x=\varphi (t),\qquad y=\psi(t), \qquad t\in \mathcal{D}\subseteq \mathbb{R},
$

imamo

$\displaystyle O=2  \pi \int\limits _{t_1}^{t_2} \vert y(t)\vert  \sqrt{\dot x(t)^2+\dot y(t)^2}   dt,$ (2.8)

a za krivulju zadanu u polarnim koordinatama,

$\displaystyle r=r(\varphi ),\qquad \varphi \in[\varphi _1,\varphi _2],
$

imamo

$\displaystyle O=2  \pi \int\limits _{\varphi _1}^{\varphi _2} \vert r(\varphi )\sin\varphi \vert  \sqrt{r^2(\varphi )+r^{\prime 2}(\varphi )}   d\varphi .$ (2.9)

Zadatak 2.5  
a)
Izvedite formule (2.8) i (2.9).
b)
Izvedite formulu za oplošje kugle radijusa $ r$ na sva tri načina. Rješenje: $ O=4 r^2  \pi$.


previous up next
Natrag: Volumen rotacionog tijela Gore: Primjene određenog integrala   Naprijed: Sila i rad