×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Simpsonova formula     Numeričko integriranje     Programi

Richardsonova ekstrapolacija

Pojam Richardsonova ekstrapolacija označava klasu metoda kojima se pomoću približnog računa s manje koraka postiže veća točnost. Kod numeričkog računanja integrala, Richardsonova ekstrapolacija je jednostavan način za ocjenu pogreške.

Metoda se sastoji u sljedećem: ako smo numerički izračunali integral $J_n$ i integral $J_{2n}$ koristeći dvostruko više točaka te ako se u pripadnoj ocjeni ostatka javlja član $(\Delta x)^m$ , onda je pogreška kod računanja $J_{2n}$ približno manja od broja

$$E=\frac{n^m} {(2n)^m-n^m} (J_{2n}-J_n).$$

Drugim riječima, ako je $E>0$ , onda je približno

$$\int\limits _a^bf(x) dx\in[J_{2n},J_{2n}+E],$$

a ako je $E\leq 0$ , onda je približno

$$\int\limits _a^bf(x) dx\in[J_{2n}+E,J_{2n}].$$

Kod dokazivanja ovih formula pretpostavljamo da postoji broj $\omega$ takav da je

$$<tex2html_comment_mark>202 I_n=I+R_n, \qquad R_n=\omega (\Delta x)^m$$ (2.15)

za svaki $\Delta x$ . Ova pretpostavka nije uvijek točno ispunjena, no u velikom broju slučajeva možemo smatrati da ona vrijedi. Na primjer, kod trapezne formule je $M (b-a)/12$ (teorem 2.6) pa pretpostavka (2.15) znači da možemo uzeti (približno) isti $\omega$ za različite vrijednosti od $\Delta x$ . Koristeći pretpostavku imamo

$$R_{n} =I-I_n =\omega (\Delta x)^m =\omega \left(\frac{b-a}{n}\right)^m,$$

$$R_{2n} =I-I_{2n} =\omega (\Delta x/2)^m =\omega \left(\frac{b-a}{2n}\right)^m.$$

Dakle,

$$I_{2n}-I_{n}=\omega (b-a)^m \left(\frac{1}{n^m}-\frac{1}{(2n)^m}\right)$$

pa je

$$\omega = \frac{n^m (2n)^m}{(b-a)^m} \frac{I_{2n}-I_n}{(2n)^m-n^m},$$

što konačno daje

$$R_{2n}\approx E = \frac{n^m} {(2n)^m-n^m} (J_{2n}-J_n).$$

Primjer 2.25  

a)

Ocijenimo pogrešku u integralu $J_4$ iz primjera 2.23. Da bi primijenili Richardsonovu formulu, treba nam $J_2$ , pri čemu možemo koristiti istu tablicu. Trapezna formula (2.11) za $n=2$ daje

$$J_2=\frac{\pi}{4} \big( \frac{y_0}{2}+y_2+\frac{y_4}{2} \big)\approx 1.209960$$

pa je

$$E=\frac{2^2}{4^2-2^2} (J_4-J_2)= \frac{1}{3} (1.211051-1.209960)\approx 0.000363666.$$

Dakle, za zadani integral (2.10) vrijedi

$$I\in[1.211051, 1.211051+0.000363666]=[1.211051, 1.211414].$$

b)

Ocijenimo pogrešku u integralu $J_4$ iz primjera 2.24. Koristeći tablicu iz primjera 2.23, Simpsonova formula (2.14) za $n=2$ daje

$$J_2=\frac{1}{3}\cdot\frac{\pi}{4} (y_0+4 y_2+y_4)\approx 1.220581,$$

pa je

$$E=\frac{2^4}{4^4-2^4} (J_4-J_2)= \frac{1}{15} (1.211415-1.220581)=-0.000611066.$$

Dakle, za integral (2.10) vrijedi

$$I\in[1.211415-0.000611066, 1.211415] =[1.210803, 1.211415].$$

Zadatak 2.12   Izračunajte $$\int_0^4 e^{-x^2} dx$$ pomoću trapezne i Simpsonove formule za $n=8$ , a pogreške ocijenite Richardsonovom ekstrapolacijom.

Simpsonova formula     Numeričko integriranje     Programi