×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Trapezna formula     Numeričko integriranje     Richardsonova ekstrapolacija

Simpsonova formula

Simpsonovu formulu dobijemo ako umjesto linearnih koristimo kvadratne aproksimacije zadane funkcije. Preciznije, zadani interval $[a,b]$ podijelimo na paran broj točaka $n=2k$ , uzmemo

$$\Delta x= \frac{b-a}{n},$$

a zadanu funkciju $f(x)$ na intervalu $[x_{2i-2},x_{2i}]$ , $i=1,\ldots, k$ aproksimiramo kvadratnom parabolom $p(x)=ax^2+bx+c$ koja prolazi kroz tri susjedne točke (slika 2.33)

$$(x_{2i-2},y_{2i-2}),\quad (x_{2i-1},y_{2i-1}),\quad (x_{2i},y_{2i}).$$

Slika 2.33: Simpsonova formula

Određeni integral parabole $p(x)$ na intervalu $[x_{2i-2},x_{2i}]$ jednak je

$$\int\limits _{x_{2i-2}}^{x_{2i}} (ax^2+bx+c) dx=\frac{\Delta x}{3} (y_{2i-2}+4 y_{2i-1} +y_{2i}).$$ (2.12)

Zaista, postavimo li pomoćni koordinatni sustav tako da mu je ishodište u točki $x_{2i-1}$ , onda je

$$x_{2i-2}=-\Delta x, \quad x_{2i-1}=0,\quad x_{2i}=\Delta x,$$

pa uvjeti da $p(x)$ prolazi zadanim točkama glase

$$y_{2i-2} =a \Delta x^2 -b \Delta x +c,$$

$$y_{2i-1} =c,$$ (2.13)

$$y_{2i} =a \Delta x^2+b \Delta x +c.$$

Integral (2.12) jednak je, dakle, integralu

$$\int\limits _{-\Delta x}^{\Delta x} (ax^2+bx+c) dx= a \frac{x^... ...igg\vert _{-\Delta x}^{\Delta x} =\frac{\Delta x}{3} (2 a \Delta x^2+6c).$$

No, formule (2.13) povlače

$$2 a \Delta x^2+6c=y_{2i-2}+4y_{2i-1}+y_{2i}$$

pa je formula (2.12) dokazana.

Konačno, zbrajanjem integrala (2.12) za $i=1,\ldots, k$ , nakon sređivanja dobijemo Simpsonovu formulu

$$J_n=\frac{\Delta x}{3} (y_0 + 2 ( y_2+y_4+\cdots +y_{n-2})+ 4 (y_1+y_3+\cdots+y_{n-1}) + y_n).$$ (2.14)

Pogrešku Simpsonove formule daje sljedeći teorem^2.3: ako je četvrta derivacija $f^{IV}(x)$ neprekidna i omeđena na intervalu $[a,b]$ , onda vrijedi

$$\int\limits _a^b f(x) dx=J_n+R,$$

pri čemu za ostatak $R$ vrijedi ocjena

$$\vert R\vert\leq M \frac{b-a}{180} \Delta x^4,\qquad M=\max_{x\in[a,b]} \vert f^{IV}(x)\vert.$$

Primjer 2.24   Izračunajmo integral (2.10) Simpsonovom formulom za $n=4$ . Koristeći vrijednosti dane u tablici iz primjera 2.23 imamo

$$J_4=\frac{1}{3}\cdot\frac{\pi}{8} (y_0 +2y_2+4(y_1+y_3) + y_4 )\approx 1.211415.$$

Traženje broja $M$ u gornjoj formuli za ocjenu pogreške je složeno, zato ćemo u sljedećem poglavlju pogrešku ocijeniti Richardsonovom ekstrapolacijom.

Trapezna formula     Numeričko integriranje     Richardsonova ekstrapolacija