×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Eliptički integrali     Numeričko integriranje     Simpsonova formula

Trapezna formula

Kod trapezne formule odaberemo dekompoziciju $D$ koja dijeli interval $[a,b]$ na $n$ jednakih dijelova,

$$D=\{a=x_0,x_1,\ldots, x_{n-1}, b=x_n\},$$

pa je prirast jednak

$$\Delta x=x_i-x_{i-1} =\frac{b-a}{n}.$$

Zadanu krivulju $y=f(x)$ aproksimiramo izlomljenom crtom koja nastaje spajanjem točaka $(x_{i-1},y_{i-1})$ i $(x_i,y_i)$ , a integral $$\int_a^b f(x) dx$$ aproksimiramo s tako dobivenom integralnom sumom $J_n$ (vidi sliku 2.32).

Slika 2.32: Trapezna formula

Vidimo da je integralna suma zapravo suma površina dobivenih trapeza, pa odatle i ime trapezna formula. Površinu $i$ -tog trapeza računamo kao zbroj površine pravokutnika i površine trokuta, što daje

$$J_n =\sum_{i=1}^n \big(\Delta x y_{i-1}+ \Delta x \frac{y_i-y_{i-1}}{2}\big) =\Delta x \sum_{i=1}^n \frac{y_{i-1}+y_i}{2}$$

$$=\Delta x \left( \frac{y_0}{2}+y_1 +y_2+\cdots +y_{n-1} +\frac{y_n}{2}\right),$$

odnosno, trapezna formula glasi

$$J_n=\Delta x \left( \frac{y_0}{2}+\sum_{i=1}^{n-1} y_i +\frac{y_n}{2}\right).$$ (2.11)

Pogrešku trapezne formule daje sljedeći teorem.

Teorem 2.6   Ako je druga derivacija $f''(x)$ neprekidna i omeđena na intervalu $[a,b]$ , onda vrijedi

$$\int\limits _a^b f(x) dx=J_n+R,$$

pri čemu je $J_n$ dan formulom (2.11), a za ostatak $R$ vrijedi ocjena

$$\vert R\vert\leq M \frac{b-a}{12} \Delta x^2,\qquad M=\max_{x\in[a,b]} \vert f''(x)\vert.$$

Dokaz.

Radi jednostavnijeg označavanja uvedimo oznaku $h\equiv \Delta x$ . Pogreška trapezne formule na $i$ -tom intervalu jednaka je

$$R_i=\int\limits _{x_{i-1}}^{x_i} f(x) dx- \frac{h}{2} (y_{i-1}+y_i).$$

Promotrimo $R_i=R_i(h)$ kao funkciju prirasta $h$ :

$$R_i(h)=\int\limits _{x_{i-1}}^{x_{i-1}+h} f(x) dx- \frac{h}{2} [f(x_{i-1})+f(x_{i-1}+h)].$$

Koristeći pravilo o deriviranju složene funkcije imamo

$$R_i'(h) =f(x_{i-1}+h) -\displaystyle \frac{1}{2} [f(x_{i-1})+f(x_{i-1}+h)]-\displaystyle \frac{h}{2} f'(x_{i-1}+h)$$

$$=\displaystyle \frac{1}{2} [f(x_{i-1}+h) - f(x_{i-1})] - \displaystyle \frac{h}{2} f'(x_{i-1}+h),$$

$$R_i''(h) =\displaystyle \frac{1}{2} f'(x_{i-1}+h) - \displaystyle \frac{1}{2} f'(x_{i-1}+h) - \displaystyle \frac{h}{2} f''(x_{i-1}+h)$$

$$=- \displaystyle \frac{h}{2} f''(x_{i-1}+h).$$

Primijetimo da je $R_i(0)=0$ i $R'_i(0)=0$ . Vrijedi

$$R'(h)-R'(0)=\int\limits _0^h R''(t) dt,$$

odnosno

$$R'(h)=\int\limits _0^h -\frac{1}{2} t f''(x_{i-1}+t) dt.$$

Teorem o srednjoj vrijednosti 2.4 primijenjen na funkcije $(-1/2) t f''(x_{i-1}+t)$ i $t$ povlači

$$R'(h)=-\frac{1}{2} f''(\xi_i) \int\limits _0^h t dt= -\frac{h^2}{4} f''(\xi_i),$$

za neki $\xi_i\in(x_{i-1},x_i)$ . Sada imamo

$$R(h)-R(0)=\int\limits _0^h R'(t) dt$$

pa je

$$R(h)=-\frac{1}{4} f''(\xi_i) \int\limits _0^h t^2 dt=-\frac{h^3}{12} f''(\xi_i).$$

Dakle,

$$R_i = -\frac{(\Delta x)^3}{12} f''(\xi_i),\qquad \xi_i\in(x_{i-1},x_i).$$

Konačno,

$$\vert R\vert\leq \sum_{i=1}^n \vert R_i\vert \leq \frac{(b-a)(\Delta x)^2}{12}\max_{\xi\in(a,b)}\vert f''(\xi)\vert$$

i teorem je dokazan.     

Q.E.D.

Primjer 2.23   Izračunajmo integral (2.10) trapeznom formulom za $n=4$ . Vrijednosti $x_i$ i $y_i$ dane su u sljedećoj tablici:

$$\begin{array}{c\vert c\vert c} i & x_i & y_i \hline 0 & 0 & ... ...& 0.79057 \hline 3 & 3\pi/8 & 0.94348 \hline 4 & \pi/2 & 1 \end{array}$$

Dakle,

$$J_4=\frac{\pi}{8} \big( \frac{y_0}{2}+y_1+y_2+y_3 +\frac{y_4}{2}\big) = 1.211051.$$

Traženje broja $M$ u gornjoj formuli za ocjenu ostatka (pogreške) je složeno. Računanjem druge derivacije zadane funkcije može se pokazati da je $M\leq 1$ pa formula za ocjenu pogreške iz teorema 2.6 daje $\vert R\vert\leq 0.02$ . No, umjesto toga pogrešku možemo jednostavnije ocijeniti Richardsonovom ekstrapolacijom (poglavlje 2.7.4).

Eliptički integrali     Numeričko integriranje     Simpsonova formula