×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Ispitivanje toka funkcije     Ispitivanje toka funkcije     Rješavanje problema ravnoteže


Parametarski zadana funkcija

Postupak opisan u prethodnim poglavljima se, uz odgovarajuće izmjene, može primijeniti i za ispitivanje toka parametarski zadane funkcije. Međutim, kako su kod parametarski zadanih funkcija varijable $ x$ i $ y$ ravnopravne, postupak ispitivanja takvih funkcija može biti složeniji od ispitivanja eksplicitno zadanih funkcija.

Ispitivanje toka parametarski zadane funkcije ilustrirat ćemo na primjeru Descartesovog lista iz primjera 4.2, 4.4 i 4.12, koji je u parametarskom obliku zadan s

$\displaystyle x=x(t)=\frac{3\,t^2}{t^3+1},\qquad y=y(t)=\frac{3\,t}{t^3+1}.
$

1.
Područje definicije
Funkcija je definirana za $ t\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ . Primijetimo da za ove vrijednosti parametra $ t$ , varijable $ x$ i $ y$ poprimaju sve vrijednosti iz skupa $ \mathbb{R}$ .
2.
Parnost
Kako kod implicitno zadane funkcije jednoj vrijednosti varijable $ x$ može odgovarati više vrijednosti varijable $ y$ , to definicija parne i neparne funkcije na način dan u definiciji 4.2 nema smisla. Kod parametarski zadanih funkcija ima smisla koristiti sljedeću definiciju: funkcija je parna ako je njen graf simetričan s obzirom na $ y$ -os, a neparna ako je njen graf simetričan s obzirom na ishodište. Primijetimo da je ova definicija uključuje definiciju 4.2.

Ispitajmo parnost zadane funkcije po prethodnoj definiciji. Pretpostavimo da je funkcija parna. Ako je točka $ (x(t),y(t))$ element grafa funkcije, tada je i točka $ (-x(t),y(t))$ također element grafa funkcije. No, tada postoji $ t_1\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ takav da je $ (-x(t),y(t))=(x(t_1),y(t_1))$ . Uvrštavanje u definiciju funkcije daje

$\displaystyle -x(t)\equiv -\frac{3\,t^2}{t^3+1}=\frac{3\,t_1^2}{t_1^3+1}\equiv
...
...1), \qquad
y(t)\equiv \frac{3\,t}{t^3+1}=\frac{3\,t_1}{t_1^3+1}\equiv y(t_1).
$

Gornje jednakosti su ispunjene samo za $ t=t_1=0$ . Naime, za $ t,t_1\neq 0$ gornje jednakosti povlače

$\displaystyle -\frac{3\, t^2}{3\, t_1^2}=\frac{3\, t}{3\,
t_1}=\frac{t^3+1}{t_1^3+1}.
$

Nakon kraćenja prva jednakost povlači $ -t/t_1=1$ , odnosno $ t_1=-t$ . Uvrštavanje u drugu jednakost daje $ -1=(t^3+1)/(-t^3+1)$ , odnosno $ t^3-1=t^3+1$ što je nemoguće pa zaključujemo da funkcije nije parna.

Pretpostavimo sada da je funkcija neparna. Ako je točka $ (x(t),y(t))$ element grafa funkcije, tada je i točka $ (-x(t),-y(t))$ također element grafa funkcije. No, tada postoji $ t_1\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ takav da je $ (-x(t),-y(t))=(x(t_1),y(t_1))$ . Uvrštavanje u definiciju funkcije daje

$\displaystyle -x(t)\equiv -\frac{3\,t^2}{t^3+1}=\frac{3\,t_1^2}{t_1^3+1}\equiv
...
..., \qquad
-y(t)\equiv -\frac{3\,t}{t^3+1}=\frac{3\,t_1}{t_1^3+1}\equiv y(t_1).
$

Kao i u prethodnom slučaju, gornje jednakosti su ispunjene samo za $ t=t_1=0$ . Naime, za $ t,t_1\neq 0$ gornje jednakosti povlače

$\displaystyle -\frac{3\, t^2}{3\, t_1^2}=-\frac{3\, t}{3\,
t_1}=\frac{t^3+1}{t_1^3+1}.
$

Nakon kraćenja prva jednakost povlači $ t/t_1=1$ , odnosno $ t_1=t$ . Uvrštavanje u drugu jednakost daje $ -1=(t^3+1)/(t^3+1)$ , što je nemoguće pa zaključujemo da funkcije nije neparna.
3.
Periodičnost
Funkcija nije periodična, jer su $ x$ i $ y$ zadane pomoću elementarnih funkcija, a ne sadrže neku od trigonometrijskih funkcija.
4.
Nul-točke
Jednadžba $ x(t)=0$ povlači $ t=0$ , a jednadžba $ y(t)=0$ također povlači $ t=0$ pa je ishodište jedina nul-točka funkcije.
5.
Asimptote
a)
Vertikalne asimptote
Funkcija nema vertikalnih asimptota jer je $ x\in \mathbb{R}$ .
b)
Horizontalne asimptote
U primjeru 4.12 smo pokazali da $ x\to -\infty$ kada $ t\to -1-0$ . No,

$\displaystyle \lim_{t\to -1-0}y(t)=\lim_{t\to -1-0}\frac{3\,t}{t^3+1}
=\frac{3\,(-1)}{(-1-0)^3+1}=\frac{-3}{-0}=+\infty
$

pa funkcija nema horizontalnu asimptotu u lijevoj strani. Slično, $ x\to +\infty$ kada $ t\to -1+0$ . Kako je

$\displaystyle \lim_{t\to -1+0}y(t)=\lim_{t\to -1+0}\frac{3\,t}{t^3+1}
=\frac{3\,(-1)}{(-1+0)^3+1}=\frac{-3}{+0}=-\infty,
$

zaključujemo da funkcija nema horizontalnu asimptotu ni u desnoj strani.
c)
Kose asimptote
U primjeru 4.12 smo pokazali da je pravac $ y=-x-1$ kosa asimptota u obje strane.
6.
Ekstremi
Za razliku od implicitno zadane funkcije, kod parametarski zadane funkcije su varijable $ x$ i $ y$ ravnopravne pa možemo imati dvije vrste lokalnih ekstrema:
a)
lokalni ekstrem po $ x$ , odnosno lokalno najmanji ili najveći $ y$ i
b)
lokalni ekstrem po $ y$ , odnosno lokalno najmanji ili najveći $ x$ .
Ekstreme po $ x$ i po $ y$ također tražimo pomoću prve i viših derivacija kako je opisano u poglavlju 5.7, odnosno koristeći teoreme 5.12, 5.13, 5.14 i 5.18. Pri tome derivacije $ y'_x$ i $ x'_y$ , kao i više derivacije, računamo po pravilima o deriviranju parametarski zadanih funkcija iz poglavlja 5.4:

$\displaystyle y'_x=\frac{\dot y}{\dot x}, \qquad
x'_y=\frac{\dot x}{\dot y}, \qquad
y''_x=\frac{\ddot y \dot x-\dot y \ddot x}{\dot x^3}.
$

Zbog složenosti postupka, kod ispitivanje ekstrema i monotonosti potrebno je voditi računa o mnogim detaljima.

Nađimo ekstreme po $ x$ . Vrijedi

$\displaystyle \dot x(t)$ $\displaystyle =\frac{6\,t \,(t^3+1)-3\, t^2\cdot 3\, t^2}{(t^3+1)^2}= \frac{3\, t\, (-t^3+2)}{(t^3+1)^2},$    
$\displaystyle \dot y(t)$ $\displaystyle =\frac{3\,(t^3+1)-3\, t\cdot 3\, t^2}{(t^3+1)^2}= \frac{3\, (-2\, t^3+1)}{(t^3+1)^2}.$    

Dakle,

$\displaystyle y'_x=\frac{\dot y(t)}{\dot x(t)}=\frac{\frac{3\, (t^3+1)-3\, t\cd...
..., (t^3+1)-3\, t^2\cdot 3\, t^2}
{(t^3+1)^2}}= \frac{-2\, t^3+1}{t\, (-t^3+2)}.
$

Po Teoremu o nužnim uvjetima ekstrema 5.12 imamo tri točke u kojima se mogu nalaziti lokalni ekstremi i to za vrijednosti parametra $ t_1=0$ , $ t_2=1/\sqrt[3]{2}$ i $ t_3=\sqrt[3]{2}$ . Međutim, da bi mogli ispravno primijeniti teoreme o nužnim i dovoljnim uvjetima ekstrema iz poglavlja 5.7, potrebno je da je u okolini kritičnih točaka zaista definirana neka funkcija $ y=f(x)$ . Po teoremu 4.1, to će sigurno biti ispunjeno ako je u okolini promatrane točke funkcija $ x(t)$ injekcija. S druge strane, $ x(t)$ je sigurno injekcija tamo gdje je strogo rastuća ili padajuća. Vidimo da u okolini točke $ t_2$ vrijedi $ \dot x(t)>0$ pa je po Teoremu o monotonosti 5.11 funkcija $ x(t)$ strogo rastuća u okolini točke $ t_2$ . Kako $ y'_x$ mijenja predznak s $ +$ na $ -$ u okolini točke $ t_2$ , teorem 5.13 nam kaže da se radi o lokalnom maksimumu. To, međutim, nije dovoljno! Naime, kako bi zaista bili sigurni da se radi o lokalnom maksimumu po $ x$ u smislu definicije 5.4, moramo još provjeriti da i funkcija $ x(t)$ raste u okolini točke $ t_2$ . No, to smo već pokazali jer je u toj okolini $ \dot x(t)>0$ pa je naš zaključak da se radi o lokalnom minimumu opravdan. (Obrnuti slučaj pokazat ćemo kasnije).

Međutim, s ovim još nismo riješili status točaka $ t_1$ i $ t_3$ . Pogledajmo sada ekstreme po $ y$ . Vrijedi

$\displaystyle x'_y=\frac{\dot x(t)}{\dot y(t)}= \frac{t\, (-t^3+2)}{-2\, t^3+1}.
$

Očito je u okolinama točaka $ t_1=0$ i $ t_3=\sqrt[3]{2}$ derivacija $ \dot y(t)\neq 0$ pa je funkcija $ y(t)$ injekcija. U okolini točke $ t_1$ je $ \dot y(t)>0$ , odnosno $ y(t)$ je rastuća, a kako $ x'_y$ mijenja predznak s $ -$ na $ +$ radi se o lokalnom minimumu. U okolini točke $ t_3$ derivacija $ x'_y$ također mijenja predznak s $ -$ na $ +$ pa bi mogli zaključiti da se radi o lokalnom minimumu po $ y$ . Kako je u toj okolini $ \dot y(t)<0$ , odnosno $ y(t)$ je padajuća, zaključujemo da se zapravo radi o lokalnom maksimumu. Naime, činjenica da $ y(t)$ pada, zapravo znači da je derivacija $ x'_y$ negativna desno od točke $ y(t_3)$ , a pozitivna lijevo od te točke, što je zapravo definicija lokalnog maksimuma gledano od desne prema lijevoj strani.

Radi lakšeg praćenja prethodnog izlaganja, funkcije $ x(t)$ i $ y(t)$ te njihove derivacije po parametru $ t$ i po $ x$ i $ y$ prikazane su na slikama 5.15, 5.16 i 5.17. Vidimo da je prilikom ispitivanja toka parametarski zadane funkcije korisno detaljno ispitati i tokove funkcija $ x(t)$ i $ y(t)$ . To je u ovom slučaju jednostavno, jer se radi o racionalnim funkcijama.

Slika 5.15: Varijable $ x$ i $ y$ Descartesovog lista
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/descxy.eps,width=10.2cm}
\end{center}\end{figure}

Slika 5.16: Derivacije varijabli Descartesovog lista po parametru
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/desct.eps,width=10.2cm}
\end{center}\end{figure}

Slika 5.17: Derivacije Descartesovog lista po varijablama $ x$ i $ y$
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/descder.eps,width=10.2cm}
\end{center}\end{figure}

Ove slike nam daju još neke korisne informacije. Tako iz oblika funkcija $ x(t)$ i $ y(t)$ na slici 5.15 zaključujemo se na dijelu grafa funkcije ista vrijednosti varijable $ x$ javlja za tri različite točke (konkretno, isti $ x$ se javlja za po jedan $ t$ iz intervala $ (-1,0)$ , $ (0,t_2)$ i $ (t_2,+\infty)$ ). S druge strane, svakoj vrijednosti $ t\in(-\infty,-1)$ odgovara točno jedan $ x$ (funkcija $ x(t)$ je na tom intervalu injekcija). Također, kako funkcija $ x(t)$ raste na intervalu $ (0,t_2)$ , a pada na intervalu $ (t_2,+\infty)$ , zaključujemo da tu graf funkcije ima petlju.

7.
Intervali monotonosti
Ispitat ćemo monotonost od $ y$ kao funkcije od $ x$ koristeći teorem 5.11. Radi preglednosti rezultate ćemo prikazati tablično. U tablici 5.1 prikazani su redom intervali parametra $ t$ , vrijednost derivacije $ y'_x$ te kao posljedica, monotonost odgovarajuće funkcije $ y=f(x)$ . Radi lakšeg crtanja grafa funkcije prikazani su i odgovarajući intervali u kojima se nalazi varijabla $ x$ te vrijednost derivacije $ \dot x(t)$ iz koje zaključujemo da li na danom intervalu $ x(t)$ raste ili pada.


Tablica 5.1: Monotonost Descartesovog lista
$ t$ $ y'_x$ $ y=f(x)$ $ x(t)$ $ \dot x(t)$
$ (-\infty,-1)$ $ -$ pada $ (-\infty,0)$ $ -$
$ (-1,0)$ $ -$ pada $ (0,+\infty)$ $ -$
$ (0,t_1)$ $ +$ raste $ (0,\sqrt[3]{2})$ $ +$
$ (t_1,t_2)$ $ -$ pada $ (\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{4})$ $ +$
$ (t_2,+\infty)$ $ +$ raste $ (0,\sqrt[3]{4})$ $ -$


Iz tablice 5.1 se također lijepo vidi da graf krivulje ima petlju za $ t\in(0,+\infty)$ , odnosno za $ x\in(0,\sqrt[3]{4}]$ , kao i da svakoj vrijednosti $ x\in(0,\sqrt[3]{4})$ odgovaraju tri vrijednosti varijable $ y$ .

8.
Zakrivljenost
Ispitat ćemo zakrivljenost od $ y$ kao funkcije od $ x$ . Pri tome ćemo koristiti napomenu 5.2 d), sliku 5.17 iz koje vidimo da li na odgovarajućem intervalu derivacija $ y'_x$ raste ili pada te sliku 5.15 iz koje vidimo da li funkcija $ x(t)$ raste ili pada. Zaključujemo na sljedeći način:

Radi preglednosti rezultate ćemo opet prikazati tablično. U tablici 5.2 dani su redom intervali parametra $ t$ , ponašanje derivacije $ y'_x$ , ponašanje varijable $ x(t)$ i konačan zaključak o zakrivljenosti.


Tablica 5.2: Zakrivljenost Descartesovog lista
$ t$ $ y'_x$ $ x(t)$ zakrivljenost
$ (-\infty,-1)$ pada pada konveksna
$ (-1,0)$ pada pada konveksna
$ (0,t_1)$ pada raste konkavna
$ (t_1,t_2)$ pada raste konkavna
$ (t_2,+\infty)$ pada pada konveksna


9.
Točke infleksije
Iz definicije 5.8 i tablice 5.2 slijedi da se infleksije nalaze u točkama za koje je $ t=0$ i $ t=t_2$ , odnosno u točkama $ (0,0)$ i $ (\sqrt[3]{4},\sqrt[3]{2})$ .

10.
Graf funkcije
Kombinirajući sve prethodne rezultate dobijemo graf zadane funkcije i njene kose asimptote, koji je prikazan na slici 4.6.


Ispitivanje toka funkcije     Ispitivanje toka funkcije     Rješavanje problema ravnoteže