Postupak opisan u prethodnim poglavljima se, uz odgovarajuće izmjene,
može primijeniti i za ispitivanje toka parametarski zadane
funkcije.
Međutim, kako su kod parametarski zadanih funkcija varijable
i
ravnopravne, postupak ispitivanja takvih funkcija može biti složeniji od
ispitivanja eksplicitno zadanih funkcija.
Ispitivanje toka parametarski zadane funkcije ilustrirat ćemo na primjeru Descartesovog lista iz primjera 4.2, 4.4 i 4.12, koji je u parametarskom obliku zadan s
Ispitajmo parnost zadane funkcije po prethodnoj definiciji.
Pretpostavimo da je funkcija parna. Ako je točka
element
grafa funkcije, tada je i točka
također element grafa
funkcije. No, tada postoji
takav da je
. Uvrštavanje u definiciju funkcije daje
Gornje jednakosti su ispunjene samo za
Nakon kraćenja prva jednakost povlači
Pretpostavimo sada da je funkcija neparna. Ako je točka
element grafa funkcije, tada je i točka
također element grafa funkcije.
No, tada postoji
takav da je
. Uvrštavanje u definiciju funkcije daje
Kao i u prethodnom slučaju, gornje jednakosti su ispunjene samo za
Nakon kraćenja prva jednakost povlači
pa funkcija nema horizontalnu asimptotu u lijevoj strani. Slično,
zaključujemo da funkcija nema horizontalnu asimptotu ni u desnoj strani.
Zbog složenosti postupka, kod ispitivanje ekstrema i monotonosti potrebno je voditi računa o mnogim detaljima.
Nađimo ekstreme po
. Vrijedi
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
Po Teoremu o nužnim uvjetima ekstrema 5.12 imamo tri točke u kojima se mogu nalaziti lokalni ekstremi i to za vrijednosti parametra
Međutim, s ovim još nismo riješili status točaka
i
.
Pogledajmo sada ekstreme po
. Vrijedi
Očito je u okolinama točaka
Radi lakšeg praćenja prethodnog izlaganja, funkcije
i
te
njihove derivacije po parametru
i po
i
prikazane su na
slikama 5.15, 5.16 i 5.17.
Vidimo da je prilikom ispitivanja toka parametarski zadane funkcije
korisno detaljno ispitati i tokove funkcija
i
.
To je u ovom slučaju jednostavno, jer se radi o racionalnim
funkcijama.
Ove slike nam daju još neke korisne informacije. Tako iz oblika
funkcija
i
na slici 5.15 zaključujemo se na
dijelu grafa funkcije ista vrijednosti varijable
javlja za tri
različite točke (konkretno, isti
se javlja za po jedan
iz
intervala
,
i
).
S druge strane, svakoj vrijednosti
odgovara točno
jedan
(funkcija
je na tom intervalu injekcija).
Također, kako funkcija
raste na intervalu
, a pada na
intervalu
, zaključujemo da tu graf funkcije ima
petlju.
Iz tablice 5.1 se također lijepo vidi da graf krivulje ima
petlju za
, odnosno za
, kao i
da svakoj vrijednosti
odgovaraju tri vrijednosti varijable
.
Radi preglednosti rezultate ćemo
opet prikazati tablično. U tablici 5.2 dani su redom
intervali parametra
, ponašanje derivacije
,
ponašanje varijable
i konačan zaključak o zakrivljenosti.