previous up next
Natrag: Vrste prekida   Gore: FUNKCIJE REALNE VARIJABLE   Naprijed: Pregled elementarnih funkcija  


Asimptote

Asimptota funkcije je pravac sa svojstvom da udaljenost između točke na grafu funkcije i tog pravca teži k nuli kada točka na grafu odmiče u beskonačnost. Funkcija može imati vertikalne, horizontalne i kose asimptote.

Pravac $ x=x_0$ je vertikalna asimptota funkcije $ f$ u točki $ x_0$ s lijeve strane ako je $ \lim_{x\to x_0-0}f(x)=+\infty$ ili $ \lim_{x\to x_0-0}f(x)=-\infty$. Analogno, pravac $ x=x_0$ je vertikalna asimptota funkcije $ f$ u točki $ x_0$ s desne strane ako je $ \lim_{x\to x_0+0}f(x)=+\infty$ ili $ \lim_{x\to x_0+0}f(x)=-\infty$. Vertikalne asimptote se mogu nalaziti u točkama prekida funkcije ili u otvorenim rubovima područja definicije.

Na primjer, pravac $ x=0$ je vertikalna asimptota funkcije $ \frac{1}{x}$ s obje strane (slika 4.12). Pravac $ x=0$ je vertikalna asimptota funkcija $ \ln x$, $ \log x$ i $ \log_2 x$ (slika 4.25) s desne strane. U ovom slučaju vertikalna asimptota se nalazi u rubu područja definicije.

Pravac $ y=y_0$ je horizontalna asimptota funkcije $ f$ u lijevoj strani ako je $ \lim_{x\to -\infty}f(x)=y_0$. Analogno, pravac $ y=y_0$ je horizontalna asimptota funkcije $ f$ u desnoj strani ako je $ \lim_{x\to +\infty}f(x)=y_0$. Na primjer pravac $ y=0$ je horizontalna asimptota funkcije $ \frac{1}{x}$ u obje strane, kao i $ y=0$ horizontalna asimptota funkcija $ 2^x$ i $ e^x$ u lijevoj strani (slika 4.23).

Ako je

$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}=k, \qquad \lim_{x\to -\infty} (f(x)-kx)=l,$ (4.5)

pri čemu je

$\displaystyle k\neq 0,-\infty,+\infty, \qquad l\neq -\infty,+\infty,
$

tada je pravac $ y=kx+l$ kosa asimptota funkcije $ f$ u lijevoj strani. Kosu asimptotu funkcije $ f$ u desnoj strani definiramo analogno.

Izvedimo formule (4.5). Prema slici 4.16 udaljenost od točke na krivulji do asimptote je $ d(M,L)$. Prema definiciji asimptote $ d(M,L)\to 0$ kada $ x\to +\infty$. Kako je $ \cos \alpha\neq 0$ konstanta, zaključujemo da

$\displaystyle d(M,L)\to 0 \quad \Leftrightarrow \quad d(M,N)\to 0 \quad
\Leftrightarrow \quad
\lim_{x\to +\infty} \vert f(x)-(kx+l)\vert=0.
$

Zadnji uvjet, koji je ekvivalentan s

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} (f(x)-kx-l)=0$ (4.6)

je očito nužan i dovoljan uvjet za postojanje kose asimptote. Gornja jednakost je ekvivalentna s $ \lim_{x\to +\infty} (f(x)-kx)=l$. Nadalje, (4.6) povlači

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)-kx-l}{x}=0,
$

pa je $ \lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x}=k$.

Slika 4.16: Kosa asimptota
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/kosaa.eps,width=9.6cm}
\end{center}\end{figure}

Primjer 4.11   Ispitajmo ponašanje funkcije

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{1+x}
$

u desnoj strani. Vrijedi

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)=
\lim_{x\to +\infty}
\frac{x^2\cdot\frac{1}{x^2}}{(1+x)\cdot\frac{1}{x^2}}
=\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{0+0}=+\infty
$

pa funkcija nema horizontalnu asimptotu u desnoj strani.

Potražimo kosu asimptotu: vrijedi

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=
\lim_{x\to +\infty}\frac{x}{1+x}=1
$

pa je $ k=1$. Potražimo $ l$: vrijedi

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}(f(x)-kx)=
\lim_{x\to +\infty}\bigg(\frac{x^2}{1+x}-x\bigg)=
\lim_{x\to +\infty}\frac{-x}{1+x}=-1
$

pa je $ l=-1$. Dakle, pravac $ y=x-1$ je kosa asimptota funkcije $ f$ u desnoj strani.

Zadatak 4.7   Ispitajte ponašanje funkcije iz primjera 4.11 u lijevoj strani i u točki prekida $ x=-1$. Pokušajte skicirati funkciju.

Primjer 4.12   Asimptote možemo tražiti i kod parametarski zadanih funkcija. Dokažimo da je pravac $ y=-x-1$ kosa asimptota Descartesovog lista iz primjera 4.2 kao što je prikazano na slici 4.6. Descartesov list je u parametarskom obliku zadan s formulama kao u primjeru 4.4:

$\displaystyle x=x(t)=\frac{3 t^2}{t^3+1},\qquad y=y(t)=\frac{3 t}{t^3+1},
\qquad t\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}.
$

Kako su $ x$ i $ y$ funkcije parametra $ t$, prvo moramo utvrditi za koje vrijednosti parametra $ x$ teži u beskonačno. Vrijedi

$\displaystyle \lim_{t\to -1-0} x(t)$ $\displaystyle =\lim_{t\to -1-0}\frac{3 t^2}{t^3+1}= \frac{3 (-1)^2}{(-1-0)^3+1}=\frac{3}{-0}=-\infty,$    
$\displaystyle \lim_{t\to -1+0} x(t)$ $\displaystyle =\lim_{t\to -1+0}\frac{3 t^2}{t^3+1}= \frac{3 (-1)^2}{(-1+0)^3+1}=\frac{3}{+0}=+\infty.$    

Potražimo prvo kosu asimptotu u lijevoj strani. Formule (4.5) primjenjujemo na sljedeći način:

$\displaystyle k$ $\displaystyle =\lim_{x\to -\infty}\frac{y}{x}= \lim_{t\to -1-0}\frac{y(t)}{x(t)...
...ac{\frac{3 t}{t^3+1}}{\frac{3 t^2}{t^3+1}}=\lim_{t\to -1-0}  \frac{1}{t}=-1,$    
$\displaystyle l$ $\displaystyle =\lim_{x\to -\infty} (y-kx)=\lim_{t\to -1-0}(y(t)-(-1)x(t)) =\lim_{t\to -1-0}\bigg(\frac{3 t}{t^3+1}+\frac{3 t^2}{t^3+1}\bigg)$    
  $\displaystyle =\lim_{t\to -1-0} 3 t\frac {1+t}{t^3+1}= \lim_{t\to -1-0} \frac{3 t}{t^2-t+1}=\frac{3 (-1)}{(-1)^2-(-1)+1}$    
  $\displaystyle =-1.$    

Dakle, pravac $ y=-x-1$ je kosa asimptota Descartesovog lista u lijevoj strani. Slično se pokaže da je isti pravac kosa asimptota i u desnoj strani .


previous up next
Natrag: Vrste prekida   Gore: FUNKCIJE REALNE VARIJABLE   Naprijed: Pregled elementarnih funkcija