×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Eksplicitno zadavanje     Načini zadavanja funkcija     Parametarsko zadavanje

Implicitno zadavanje

Implicitno se funkcija zadaje pomoću pravila

$$% F(x,y)=0,$$

gdje je $F(x,y)$ izraz koji sadrži nezavisnu varijablu $x$ i zavisnu varijablu $y$ . Graf implicitno zadane funkcije je krivulja u ravini, $\Gamma\subset \mathbb{R}^2$ , definirana s

$$\Gamma=\{(x,y): \ F(x,y)=0\}.$$

Primjer implicitno zadane funkcije je

$$% x+\arccos (xy)=0 .$$

Domenu funkcije ponovo određujemo iz definicija elementarnih funkcija, ali u ovom slučaj potrebne su dodatne transformacije. Funkcija $\arccos:[-1,1]\to [0,\pi]$ je inverzna funkcija kosinusa (vidi poglavlje 4.6.6). Slijedi $xy\in [-1,1]$ . Funkciju možemo zapisati i kao

$$\arccos (xy)=-x.$$ (4.1)

Slijedi $-x\in [0,\pi]$ , odnosno $x\in [-\pi,0]$ . Za $x$ i $xy$ koji zadovoljavaju prethodna ograničenja možemo uzeti kosinus lijeve i desne strane jednakosti (4.1), što daje $xy =\cos(-x)=\cos(x)$ (u zadnjoj jednakosti koristili smo činjenicu da je kosinus parna funkcija, vidi poglavlje 4.6.5). Za $x\neq 0$ slijedi

$$% y=\frac{\cos(x)}{x} .$$

Da $x$ mora biti različit od nule slijedi i iz formule (4.1) jer uvrštavanje nule daje

$$% \frac{\pi}{2}=\arccos 0= -0,$$

što je nemoguće.

Zaključimo: funkcija $x+\arccos (xy)=0$ definirana je za $x\in[-\pi,0)$ i na tom intervalu poprima iste vrijednosti kao eksplicitno zadana funkcija $y=\cos (x)/x$ (vidi sliku 4.3). Sama funkcija $y=\cos (x)/x$ definirana je na većem području, $x\in\mathbb{R}\setminus \{0\}$ (slika 4.4).

Slika 4.3: Implicitno zadana funkcija $x+\arccos (xy)=0$

Slika 4.4: Funkcija $y=\cos (x)/x$

Za razliku od prethodnog primjera, izrazom $F(x,y)=0$ može biti zadano više eksplicitno zadanih funkcija. U tom slučaju jednoj vrijednosti varijable $x$ može odgovarati više vrijednosti varijable $y$ .

Primjer 4.1   [Kružnica] Izrazom

$$% x^2+(y-1)^2-4=0$$

implicitno je zadana kružnica sa središtem u točki $(0,1)$ radijusa $2$ . Na primjer, ovim izrazom eksplicitno su zadane dvije osnovne funkcije, $y_1(x)$ i $y_2(x)$ , od kojih svaka predstavlja jednu polukružnicu. Zaista, jednadžba

$$% (y-1)^2=4-x^2$$

povlači

$$% y-1=\sqrt{4-x^2} \quad \textrm{ili} \quad y-1=-\sqrt{4-x^2},$$

odnosno

$$% y_1=1+\sqrt{4-x^2} \quad \textrm{i} \quad y_2=1-\sqrt{4-x^2}.$$

Kako izraz pod korijenom mora bit veći ili jednak nuli, domene su $\mathcal{D}_1=\mathcal{D}_2=[-2,2]$ (slika 4.5).

Slika 4.5: Implicitno zadana kružnica

Napomena 4.1   Općenito, izraz

$$% (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$$

je implicitna jednadžba kružnice radijusa $r$ sa središtem u točki $(x_0,y_0)$ .

Implicitno zadane funkcije često nije moguće svesti na eksplicitni oblik.

Primjer 4.2   Descartesov list je krivulja zadana s izrazom

$$% x^3+y^3-3xy=0.$$

Premda funkciju (slika 4.6) nije moguće jednostavno rastaviti na eksplicitno zadane funkcije kao u primjeru 4.1, možemo je analizirati u parametarskom obliku (primjeri 4.4 i 4.12).

Slika 4.6: Descartesov list

Eksplicitno zadavanje     Načini zadavanja funkcija     Parametarsko zadavanje