×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Parametarsko zadavanje     FUNKCIJE REALNE VARIJABLE     Limes


Klasifikacija funkcija

U ovom poglavlju definirat ćemo što su

Neka je

$\displaystyle f:\mathcal{D}\to\mathcal{K}, \qquad \mathcal{D}, \mathcal{K}\subseteq\mathbb{R}. $

Definicija 4.1   Funkcija $ f$ je omeđena ako postoji broj $ m$ takav da je $ \vert f(x)\vert\leq m$ za svaki $ x\in \mathcal{D}$ . Funkcija $ f$ je neomeđena ako nije omeđena.

Na primjer, funkcija $ \vert x\vert$ iz poglavlja 1.7.2 je neomeđena jer za svaki $ m>0$ postoji $ x\in \mathcal{D}$ takav da je $ \vert x\vert>m$ .

Definicija 4.2   Funkcija $ f$ je parna ako je $ f(-x)=f(x)$ za svaki $ x\in \mathcal{D}$ , a neparna ako je $ f(-x)=-f(x)$ za svaki $ x\in \mathcal{D}$ .

Očito i kod parne i neparne funkcije područje definicije mora biti simetrično s obzirom na ishodište. Na primjer, funkcija

$\displaystyle x^n, \qquad n\in\mathbb{N}
$

je parna za $ n$ paran, a neparna za $ n$ neparan pa odatle i nazivi:

$\displaystyle f(-x)=(-x)^n=(-1)^n x^n=(-1)^n f(x).
$

Funkcija $ \vert x\vert$ je parna: ako je $ x>0$ , tada je $ -x<0$ pa vrijedi

$\displaystyle \vert-x\vert=-(-x)=x=\vert x\vert,
$

a ako je $ x<0$ tada je $ -x>0$ pa vrijedi

$\displaystyle \vert-x\vert=-x=\vert x\vert.
$

Definicija 4.3   Funkcija $ f$ je rastuća ili uzlazna na intervalu $ \mathcal{A}\subseteq \mathcal{D}$ ako

$\displaystyle ( \forall x_1,x_2\in \mathcal{A})
\quad x_1 < x_2 \quad \Rightarrow \quad f(x_1)\leq f(x_2).
$

Funkcija $ f$ je strogo rastuća na intervalu $ \mathcal{A}\subseteq \mathcal{D}$ ako

$\displaystyle ( \forall x_1,x_2\in \mathcal{A})
\quad x_1 < x_2 \quad \Rightarrow \quad f(x_1)< f(x_2).
$

Slično, funkcija $ f$ je padajuća ili silazna na intervalu $ \mathcal{A}\subseteq \mathcal{D}$ ako

$\displaystyle ( \forall x_1,x_2\in \mathcal{A})
\quad x_1 < x_2 \quad \Rightarrow \quad f(x_1)\geq f(x_2),
$

a strogo padajuća na intervalu $ \mathcal{A}\subseteq \mathcal{D}$ ako

$\displaystyle ( \forall x_1,x_2\in \mathcal{A})
\quad x_1 < x_2 \quad \Rightarrow \quad f(x_1) > f(x_2).
$

Ako je $ \mathcal{A} = \mathcal{D}$ tada kažemo da je funkcija $ f$ (strogo) rastuća ili padajuća bez navođenja skupa.
Ako je funkcija (strogo) rastuća ili padajuća, još kažemo i da je (strogo) monotona.
Funkcija je po dijelovima monotona ako se područje definicije $ \mathcal{D}$ može rastaviti na konačno mnogo podintervala takvih da je na svakom od njih funkcija monotona.

Na primjer, funkcija $ \vert x\vert$ je strogo padajuća na intervalu $ (-\infty,0]$ i strogo rastuća na intervalu $ [0,\infty)$ , dakle po dijelovima strogo monotona. Konstantna funkcija $ f(x)=2$ (slika 4.17) je monotona i to istovremeno i rastuća i padajuća na čitavoj domeni (ali ne strogo).

Definicija 4.4   Funkcija $ f$ je periodična ako postoji broj $ P\neq 0$ takav da za svaki $ x\in \mathcal{D}$ vrijedi

$\displaystyle f(x+P)=f(x).
$

Tada očito mora vrijediti $ x+P\in\mathcal{D}$ . Najmanji pozitivni $ P$ s ovim svojstvom zove se osnovni period ili period funkcije $ f$ .

Primjeri periodičnih funkcija su trigonometrijske funkcije.

Primjer 4.5   Funkcija najveće cijelo, $ [x]:\mathbb{R}\to \mathbb{Z}$ je definirana s

$\displaystyle [x]=k, \qquad k\leq x < k+1, \quad k\in \mathbb{Z}.
$

Definirajmo funkciju $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ s

$\displaystyle f(x)=x-[x].
$

Kako je $ 0\leq f(x)<1$ , to je $ R_{f}=[0,1)$ . Nadalje, za svaki $ n\in \mathbb{N}$ vrijedi

$\displaystyle f(x+n)=x+n-[x+n]=x+n-([x]+n)=x+n-[x]-n=x-[x]=f(x)
$

pa je $ f$ periodična funkcija s osnovnim periodom $ P=1$ .

Zadatak 4.4   Nacrtajte funkcije $ [x]$ i $ f$ iz primjera 4.5.


Parametarsko zadavanje     FUNKCIJE REALNE VARIJABLE     Limes