Natrag: Parametarsko zadavanje   Gore: FUNKCIJE REALNE VARIJABLE   Naprijed: Limes  

Klasifikacija funkcija

U ovom poglavlju definirat ćemo što su

• omeđene i neomeđene funkcije,
• parne i neparne funkcije,
• rastuće i padajuće (monotone) funkcije i
• periodične funkcije.

Neka je

$$f:\mathcal{D}\to\mathcal{K}, \qquad \mathcal{D}, \mathcal{K}\subseteq\mathbb{R}.$$

Definicija 4.1   Funkcija $f$ je omeđena ako postoji broj $m$ takav da je $\vert f(x)\vert\leq m$ za svaki $x\in \mathcal{D}$. Funkcija $f$ je neomeđena ako nije omeđena.

Na primjer, funkcija $\vert x\vert$ iz poglavlja 1.7.2 je neomeđena jer za svaki $m>0$ postoji $x\in \mathcal{D}$ takav da je $\vert x\vert>m$.

Definicija 4.2   Funkcija $f$ je parna ako je $f(-x)=f(x)$ za svaki $x\in \mathcal{D}$, a neparna ako je $f(-x)=-f(x)$ za svaki $x\in \mathcal{D}$.

Očito i kod parne i neparne funkcije područje definicije mora biti simetrično s obzirom na ishodište. Na primjer, funkcija

$$x^n, \qquad n\in\mathbb{N}$$

je parna za $n$ paran, a neparna za $n$ neparan pa odatle i nazivi:

$$f(-x)=(-x)^n=(-1)^n x^n=(-1)^n f(x).$$

Funkcija $\vert x\vert$ je parna: ako je $x>0$, tada je $-x<0$ pa vrijedi

$$\vert-x\vert=-(-x)=x=\vert x\vert,$$

a ako je $x<0$ tada je $-x>0$ pa vrijedi

$$\vert-x\vert=-x=\vert x\vert.$$

Definicija 4.3   Funkcija $f$ je rastuća ili uzlazna na intervalu $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{D}$ ako

$$( \forall x_1,x_2\in \mathcal{A}) \quad x_1 < x_2 \quad \Rightarrow \quad f(x_1)\leq f(x_2).$$

Funkcija $f$ je strogo rastuća na intervalu $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{D}$ ako

$$( \forall x_1,x_2\in \mathcal{A}) \quad x_1 < x_2 \quad \Rightarrow \quad f(x_1)< f(x_2).$$

Slično, funkcija $f$ je padajuća ili silazna na intervalu $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{D}$ ako

$$( \forall x_1,x_2\in \mathcal{A}) \quad x_1 < x_2 \quad \Rightarrow \quad f(x_1)\geq f(x_2),$$

a strogo padajuća na intervalu $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{D}$ ako

$$( \forall x_1,x_2\in \mathcal{A}) \quad x_1 < x_2 \quad \Rightarrow \quad f(x_1) > f(x_2).$$

Ako je $\mathcal{A} = \mathcal{D}$ tada kažemo da je funkcija $f$ (strogo) rastuća ili padajuća bez navođenja skupa.
Ako je funkcija (strogo) rastuća ili padajuća, još kažemo i da je (strogo) monotona.
Funkcija je po dijelovima monotona ako se područje definicije $\mathcal{D}$ može rastaviti na konačno mnogo podintervala takvih da je na svakom od njih funkcija monotona.

Na primjer, funkcija $\vert x\vert$ je strogo padajuća na intervalu $(-\infty,0]$ i strogo rastuća na intervalu $[0,\infty)$, dakle po dijelovima strogo monotona. Konstantna funkcija $f(x)=2$ (slika 4.17) je monotona i to istovremeno i rastuća i padajuća na čitavoj domeni (ali ne strogo).

Definicija 4.4   Funkcija $f$ je periodična ako postoji broj $P\neq 0$ takav da za svaki $x\in \mathcal{D}$ vrijedi

$$f(x+P)=f(x).$$

Tada očito mora vrijediti $x+P\in\mathcal{D}$. Najmanji pozitivni $P$ s ovim svojstvom zove se osnovni period ili period funkcije $f$.

Primjeri periodičnih funkcija su trigonometrijske funkcije.

Primjer 4.5   Funkcija najveće cijelo, $[x]:\mathbb{R}\to \mathbb{Z}$ je definirana s

$$[x]=k, \qquad k\leq x < k+1, \quad k\in \mathbb{Z}.$$

Definirajmo funkciju $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ s

$$f(x)=x-[x].$$

Kako je $0\leq f(x)<1$, to je $R_{f}=[0,1)$. Nadalje, za svaki $n\in \mathbb{N}$ vrijedi

$$f(x+n)=x+n-[x+n]=x+n-([x]+n)=x+n-[x]-n=x-[x]=f(x)$$

pa je $f$ periodična funkcija s osnovnim periodom $P=1$.

Zadatak 4.4   Nacrtajte funkcije $[x]$ i $f$ iz primjera 4.5.

Natrag: Parametarsko zadavanje   Gore: FUNKCIJE REALNE VARIJABLE   Naprijed: Limes