previous up next
Natrag: Zamjena varijabli Gore: VIŠESTRUKI INTEGRALI   Naprijed: Integrali ovisni o  


Momenti i težišta

U ovom poglavlju poopćit ćemo razmatranja iz poglavlja 2.6.7 na dvodimenzionalni i trodimenzionalni slučaj.

Promotrimo ravnu ploču $ \mathcal{P}$ gustoće $ \rho(x,y)$ koja zauzima područje $ D\subset \mathbb{R}^2$. Ploču ćemo podijeliti na male pravokutnike $ P_{ij}$ površine $ \Delta P=\Delta x \Delta y$. Označimo li središte pravokutnika $ P_{ij}$ s $ (\bar x_i,\bar y_j)$, masa $ m_{ij}$ dotičnog pravokutnika je približno jednaka

$\displaystyle m_{ij}\approx \rho(\bar x_i,\bar y_j)\Delta P,
$

dok su momenti oko osi $ x$-osi i $ y$-osi približno jednaki

$\displaystyle [M_x]_{ij}$ $\displaystyle \approx m_{ij} \bar y_{ij} =[\rho(\bar x_i,\bar y_j) \Delta P] \bar y_{ij},$    
$\displaystyle [M_y]_{ij}$ $\displaystyle \approx m_{ij} \bar x_{ij} =[\rho(\bar x_i,\bar y_j) \Delta P] \bar x_{ij}.$    

Sumirajući po svim $ i$ i $ j$ i prelaskom na limes kada $ \Delta P \to 0$, slijedi

$\displaystyle m$ $\displaystyle =\lim_{\Delta P \to 0}\sum_{i,j} m_{ij} = \iint\limits_D \rho(x,y)  dP,$    
$\displaystyle M_x$ $\displaystyle =\lim_{\Delta P \to 0}\sum_{i,j} [M_x]_{ij} = \iint\limits_D y \rho(x,y)  dP,$    
$\displaystyle M_y$ $\displaystyle =\lim_{\Delta P \to 0}\sum_{i,j} [M_y]_{ij} = \iint\limits_D x \rho(x,y)  dP,$    

pri čemu su $ m$, $ M_x$ i $ M_y$ redom masa ploče $ \mathcal{P}$, moment ploče $ \mathcal{P}$ oko $ x$-osi i moment ploče $ \mathcal{P}$ oko $ y$-osi.

Koordinate težišta ploče $ \mathcal{P}$ su, kao i u poglavlju 2.6.7, jednake

$\displaystyle \bar x=\frac{M_y}{m},\qquad \bar y=\frac{M_x}{m}.
$

Primjer 4.12   Odredimo težište polukružne ploče čija je gustoća jednaka udaljenosti od središta kruga: ako središte kruga smjestimo u ishodište, tada jednadžba kruga glasi $ x^2+y^2=a^2$ (vidi sliku 4.12) pa je gustoća ploče u točki $ (x,y)$ dana formulom

$\displaystyle \rho(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}.
$

Slika 4.12: Polukruna ploa
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/polukr1,width=6.0cm}
\end{center}\end{figure}

Prelaskom na polarne koordinate imamo

$\displaystyle m=\iint\limits_D\rho(x,y)  dP=\iint\limits_D \sqrt{x^2+y^2}   d...
...int\limits_0^\pi \int\limits_0^a r\cdot r  dr  d\varphi =\frac{1}{3} \pi a^3
$

Nadalje, kako su i ploča i funkcija gustoće simetrične s obzirom na $ y$-os, težište se nalazi na $ y$-osi, odnosno vrijedi $ \bar x=0$, dok je

$\displaystyle \bar y=\frac{1}{m} \iint\limits_D y  \rho(x,y)   dP
=\frac{3}{\...
...limits_0^a r \sin \varphi \cdot r
\cdot r  dr  d\varphi =\frac{3  a}{2\pi}.
$

Dakle, težište se nalazi u točki $ T=(0,3  a/(2\pi))$.

Zadatak 4.3   Nađite težište trokutaste ploče s vrhovima $ (0,0)$, $ (2,0)$ i $ (0,1)$ i funkcijom gustoće $ \rho(x,y)=1+2x+y$.

Moment inercije ili moment drugog reda čestice mase $ m$ oko $ x$-osi definiramo kao $ m  d^3$, pri čemu je $ d$ udaljenost čestice od osi. Kao i u prethodnom izlaganju ploču podijelimo na male pravokutnike, zbrojimo momente inercije oko $ x$-osi svih pravokutnika te pređemo na limes kada površine pravokutnika teže u nulu. na taj način smo dobili moment inercije ploče $ P$ oko $ x$-osi:

$\displaystyle I_x=\iint\limits_D y^2\rho(x,y)  dP.
$

Slično dobijemo i izraz za moment moment inercije ploče $ P$ oko $ x$-osi:

$\displaystyle I_y=\iint\limits_D x^2\rho(x,y)  dP.
$

Moment inercije ploče $ P$ oko ishodišta definiramo kao

$\displaystyle I_o=\iint\limits_D (x^2+y^2)\rho(x,y)  dP.
$

Primijetimo da je $ I_o=I_x+I_y$.

Primjer 4.13   Nađimo momente inercije homogenog diska gustoće $ \rho $, radijusa $ a$ s centrom u ishodištu. Rub područja integracije $ D$ je kružnica $ x^2+y^2=a^2$. U polarnim koordinatama vrijedi

$\displaystyle I_o=\iint\limits_D (x^2+y^2)\rho   dP=\rho \int\limits _0^{2\pi} \int\limits _0^a r^2
r  dr  d\varphi = \frac{1}{2}\pi\rho  a^4.
$

Zbog simetrije problema je $ I_x=I_y$ iz čega slijedi

$\displaystyle I_x=I_y=\frac{1}{2} I_o =\frac{1}{4}\pi\rho  a^4.
$

Uočimo da je masa diska jednaka

$\displaystyle m=\rho  \pi  a^2
$

pa stoga možemo pisati

$\displaystyle I_o=\frac{1}{2} m a^2.
$

Dakle, ako povećamo radijus ili masu diska, povećat će se i moment inercije. Što je moment inercije veći, to je teže pokretanje i zaustavljanje rotacije diska oko osovine.

Promotrimo sada trodimenzionalni slučaj tijela $ \Omega$ gustoće $ \rho(x,y,z)$ zauzima područje $ D\subset \mathbb{R}^3$. Sličnim razmatranjem kao i do sada, masa tijela $ \Omega$ jednaka je

$\displaystyle m=\iiint\limits_D \rho(x,y,z)   dV,
$

pri čemu je $ dV$ element volumena (vidi poglavlje 4.3). Momenti oko koordinatnih ravnina su redom

$\displaystyle M_{yz}$ $\displaystyle =\iiint\limits_D x  \rho(x,y,z)   dV,$    
$\displaystyle M_{xz}$ $\displaystyle =\iiint\limits_D y  \rho(x,y,z)   dV,$    
$\displaystyle M_{xy}$ $\displaystyle =\iiint\limits_D z  \rho(x,y,z)   dV.$    

Težište se nalazi u tučki $ T=(\bar x,\bar y,\bar z)$, gdje je

$\displaystyle \bar x=\frac{M_{yz}}{m},\qquad \bar y=\frac{M_{xz}}{m},\qquad
\bar z=\frac{M_{xy}}{m}.
$

Momenti inercije oko koordinatnih osiju su

$\displaystyle I_{x}$ $\displaystyle =\iiint\limits_D (y^2+z^2)  \rho(x,y,z)   dV,$    
$\displaystyle I_{y}$ $\displaystyle =\iiint\limits_D (x^2+z^2)  \rho(x,y,z)   dV,$    
$\displaystyle I_{z}$ $\displaystyle =\iiint\limits_D (x^2+y^2)  \rho(x,y,z)   dV.$    

Primjer 4.14   Nađimo težište tijela homogene gustoće $ \rho $ koje je omeđeno plohom $ z=1-\sqrt{1-(x-1)^2}$ i ravninama $ x=0$, $ y=0$, $ y=1$ i $ z=0$. Tijelo, koje ima oblik idealne naprave za blokadu kotača, i njegova projekcija na $ xz$-ravninu prikazani su na slikama 4.13(a) i 4.13(b), redom.

Slika 4.13: Blokada kotaa i projekcija na $ xz$-ravninu
\begin{figure}\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\epsfig{file=slike/blokada} &...
...e/blokada_p,width=4.5cm} \\
(a)& (b)
\end{tabular}
\end{center}\end{figure}

Tijelo zaprema područje

$\displaystyle D=\{(x,y,z)\subset \mathbb{R}^3 : 0\leq x\leq 1,  0\leq y\leq 1,  0 \leq z \leq
1-\sqrt{1-(x-1)^2} \}.
$

Masa tijela jednaka je

$\displaystyle m$ $\displaystyle = \iiint\limits_D \rho   dV = \rho \int\limits _0^1 \int\limits ...
...y \bigg\vert _0^1 \int\limits _0^1 z \bigg\vert _0^{1-\sqrt{1-(x-1)^2}}   dx$    
  $\displaystyle = \rho \int\limits _0^1 (1-\sqrt{1-(x-1)^2} )  dx= \rho  \left(1-\frac{\pi}{4}\right)\approx 0.215  \rho.$    

Prethodni integral se može riješiti supstitucijom $ x-1=\sin t$, no do rješenja možemo doći i jednostavnije: u ovom slučaju tijelo ima homogenu gustoću pa je masa jednaka umnošku gustoće i volumena. Volumen $ V$ je jednak umnošku površine baze, koja je prikazana na slici 4.13(b), i visine koja je jednaka 1. Površina baze $ P$ jednaka je razlici površine jediničnog kvadrata i četvrtine površine jediničnog kruga. Dakle $ V=P\cdot 1=1-\pi/4$.

Vrijedi

$\displaystyle M_{xz}$ $\displaystyle =\iiint\limits_D \rho  y   dV = \rho  \frac{1}{2}  y^2  \bigg\vert _0^1 \int\limits _0^1 z \bigg\vert _0^{1-\sqrt{1-(x-1)^2}}   dx$    
  $\displaystyle = \frac{1}{2}  \rho \left(1-\frac{\pi}{4}\right)$    

pa je $ \bar y=M_{xz}/m=1/2$. To je i logično jer tijelo ima homogenu gustoću, a simetrično je s obzirom na pravac $ y=1/2$. Nadalje,

$\displaystyle M_{xy}$ $\displaystyle =\iiint\limits_D \rho  z   dV = \rho  y  \bigg\vert _0^1 \int\limits _0^1 \frac{z^2}{2}  \bigg\vert _0^{1-\sqrt{1-(x-1)^2}}   dx$    
  $\displaystyle = \frac{1}{2}  \rho \int\limits _0^1 (1-\sqrt{1-(x-1)^2} )^2  ...
...\vert c\vert c} x& 0 & 1 \hline t & \frac{3}{2}\pi & 2\pi \end{array} \bigg\}$    
  $\displaystyle =\frac{1}{2}  \rho \int\limits _{\frac{3}{2}\pi}^{2\pi} (1-\cos t)^2  dt= \rho  \frac{10-3\pi}{12}$    

pa je

$\displaystyle \bar z= \frac{M_{xy}}{m} = \frac{10-3\pi}{3(4-\pi)}\approx 0.223.
$

Zbog simetrije zaključujemo da mora vrijediti $ \bar x=\bar z$ pa4.6 se težište tijela nalazi u točki

$\displaystyle T=\left(\frac{10-3\pi}{3(4-\pi)},\frac{1}{2},\frac{10-3\pi}{3(4-\pi)}\right).
$

Zadatak 4.4   Nađite težište tijela homogene gustoće koje je omeđeno paraboličkim cilindrom $ y^2=x$ i ravninama $ x=1$, $ z=0$ i $ z=x$.


previous up next
Natrag: Zamjena varijabli Gore: VIŠESTRUKI INTEGRALI   Naprijed: Integrali ovisni o