×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Volumen rotacijskog tijela     Primjene određenog integrala     Sila i rad

Oplošje rotacijskog tijela

Postupak računanja oplošja (površine plašta) rotacijskog tijela naziva se komplanacija plohe. Površinu plašta rotacijskog tijela od točke $x=a$ do točke $x=b$ računamo kao beskonačnu (integralnu) sumu beskonačno malih elemenata oplošja. Element oplošja $dO$ je površina plašta krnjeg stošca čiji je radijus jedne baze jednak $y=f(x)$ , radijus druge baze jednak $y+dy=f(x)+f'(x) dx$ , a duljina izvodnice jednaka $ds=\sqrt{ dx^2+ dy^2}$ (slika 2.23). Zapravo, u ovom slučaju duljinu luka krivulje u okolini točke $x$ aproksimiramo elementom duljine luka $ds$ kao što smo to učinili u poglavlju 2.6.2.

Slika: Oplošje rotacijskog tijela i element oplošja

Površina plašta krnjeg stošca baznih polumjera $r_1$ i $r_2$ i izvodnice $s$ jednaka je

$$P=s (r_1+r_2) \pi.$$

Dakle, u našem slučaju vrijedi

$$dO=ds (\vert y\vert+\vert y+ dy\vert) \pi= 2 \vert y\vert ds \pi \pm 2 dy ds \pi.$$

U ovoj formuli uzeli smo apsolutne vrijednosti, jer radi se o polumjerima koji ne mogu biti negativni. Kako je drugi pribrojnik, $2 dy ds \pi$ , infinitezimalno manji od prvog, možemo ga zanemariti pa je konačno element oplošja dan s (formalan dokaz izostavljamo)

$$dO=2 \vert y\vert ds \pi.$$

U Kartezijevim koordinatama element duljine luka $ds$ dan je izrazom (2.4) pa se oplošje rotacijskog tijela računa formulom

$$O=\int\limits _{[a,b]} dO =2 \pi \int\limits _a^b \vert y\vert \sqrt{1+y^{\prime 2}} dx.$$

Za parametarski zadanu krivulju

$$x=\varphi (t),\qquad y=\psi(t), \qquad t\in \mathcal{D}\subseteq \mathbb{R},$$

imamo

$$O=2 \pi \int\limits _{t_1}^{t_2} \vert y\vert \sqrt{\dot x^2+\dot y^2} dt,$$ (2.8)

a za krivulju zadanu u polarnim koordinatama,

$$r=r(\varphi ),\qquad \varphi \in[\varphi _1,\varphi _2],$$

imamo

$$O=2 \pi \int\limits _{\varphi _1}^{\varphi _2} \vert r \sin\varphi \vert \sqrt{r^2 +r^{\prime 2}} d\varphi .$$ (2.9)

Zadatak 2.5  

a)

Izvedite formule (2.8) i (2.9).

b)

Izvedite formulu za oplošje kugle radijusa $r$ na sva tri načina. Rješenje: $O=4 r^2 \pi$ .

Volumen rotacijskog tijela     Primjene određenog integrala     Sila i rad