×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Oplošje rotacijskog tijela     Primjene određenog integrala     Hidrostatski tlak i sila


Sila i rad

Prema Newtonovom drugom zakonu gibanja ako se tijelo kreće po pravcu i ako je gibanje tijela dano funkcijom $ s(t)$ , onda je sila $ F$ koja djeluje na tijelo u smjeru kretanja jednaka umnošku mase tijela i njegove akceleracije:

$\displaystyle F=m  \frac{d^2 s}{dt^2}.
$

U slučaju konstantnog ubrzanja, sila $ F$ je također konstantna i izvršeni rad definiramo kao umnožak sile $ F$ i prijeđenog puta $ d$ :

$\displaystyle W=F d.
$

U slučaju kada sila nije konstantna, postupamo na sljedeći način: neka se tijelo giba uzduž $ x$ -osi od točke $ x=a$ do točke $ x=b$ i neka u točki $ x$ na tijelo djeluje sila $ f(x)$ . Neka je $ \{ x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ podjela segmenta $ [a,b]$ (vidi definiciju 2.1) takva da su svi podintervali jednake duljine, $ x_{i}-x_{i-1}=\Delta x,   i=1,\ldots,n$ . U podintervalu $ [x_{i-1},x_i]$ odaberimo točku $ \xi_i$ . Kako je za veliki $ n$ duljina intervala $ \Delta x$ mala, a funkcija $ f$ je neprekidna, možemo pretpostaviti da je $ f$ gotovo konstantna na intervalu $ [x_{i-1},x_i]$ . Stoga je rad koji se izvrši prilikom pomicanja tijela od točke $ x=x_{i-1}$ do točke $ x=x_i$ približno jednak

$\displaystyle W_i\approx f(\xi_i)  \Delta x
$

pa je cjelokupni rad približno jednak

$\displaystyle W\approx\sum_{i=1}^n W_i=\sum_{i=1}^n f(\xi_i)  \Delta x.
$

Intuitivno je jasno da ova aproksimacija postaje sve bolja što je $ n$ veći. Kako je izraz na desnoj strani jedan oblik integralne sume, rad izvršen prilikom pomicanja tijela od točke $ x=a$ do točke $ x=b$ definiramo kao

$\displaystyle W=\lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)  \Delta x =\int_a^b f(x)  dx.
$

U metričkom sustavu masa se mjeri u kilogramima (kg), pomak u metrima (m) vrijeme u sekundama (s) i sila u njutnima (newton, $ \mathrm{N=kg \cdot m/s^2}$ ). Dakle, sila od 1 N koja djeluje na masu od 1 kg proizvodi ubrzanje od $ \mathrm{1  m/s^2}$ . Rad se mjeri u njutn-metrima ili džulima (joule, $ \mathrm{J=N\cdot m}$ ).

Primjer 2.19   Ako na tijelo koje se nalazi $ x$ metara od ishodišta djeluje sila od $ x^2+x$ njutna, rad koji se izvrši kada se tijelo pomakne od točke $ x=1  \textrm{m} $ do točke $ x=4 \textrm{m} $ jednak je

$\displaystyle W=\int_1^4 (x^2+x)  dx=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2} \bigg\vert _1^4 = 28.5 \textrm{J}.
$

Primjer 2.20   Prema Hookeovom zakonu, sila potrebna za održavanje opruge rastegnutom $ x$ jedinica udaljenosti od njene prirodne dužine proporcionalna je s $ x$ :

$\displaystyle f(x)=kx,
$

pri čemu je $ k$ pozitivna konstanta (konstanta opruge). Hookeov zakon vrijedi ako rastezanje $ x$ nije preveliko (vidi sliku 2.24).

Slika 2.24: Hookeov zakon
\begin{figure}\centering
\epsfig{file=slike/hooke, width=7.2cm} \\
a) Prirodn...
... \epsfig{file=slike/hooke1,width=7.2cm} \\
b) Rastegnuta opruga
\end{figure}

Neka je, na primjer, sila od 30 N potrebna da bi se držala opruga koja je od svoje prirodne duljine od $ 10 \mathrm{cm}$ rastegnuta na duljinu od $ 15 \mathrm{cm}$ . Izračunajmo rad potreban da bi se opruga dalje rastegla na duljinu od $ 18 \mathrm{cm}$ . Prvo je potrebno odrediti konstantu opruge $ k$ : prema zadanim podacima vrijedi

$\displaystyle 30 \mathrm{N} = 0.05   k,\qquad k=\frac{30}{0.05}= 600 \mathrm{N/m}.
$

Dakle, $ f(x)=600  x$ pa je izvršeni rad jednak

$\displaystyle W=\int_{0.05}^{0.08} 600  x  dx= 600  \frac{x^2}{2}\bigg\vert _{0.05}^{0.08}=
300  (0.08^2-0.05^2) = 1.17 \mathrm{J}.
$

Primjer 2.21   Rezervar oblika invertiranog stošca visine $ h=10 \mathrm{m}$ i radijusa baze $ r=3 \mathrm{m}$ napunjen je vodom do visine $ 8 \mathrm{m}$ (vidi sliku 2.25). Izračunajmo rad koji je potreban za pražnjenje rezervara i to tako da se voda ispumpa preko gornjeg ruba.

Slika 2.25: Rezervar s vodom
\begin{figure}\centering
\epsfig{file=slike/rezervar}
\end{figure}

U ovom slučaju prvo treba postaviti integral. Uvedimo koordinatni sustav kao na slici 2.25. Voda se nalazi od dubine $ 2 \mathrm{m}$ do dubine $ 10 \mathrm{m}$ . Neka je $ \{ x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ oidjela intervala $ [2,10]$ takva da su svi podintervali jednake duljine, $ x_{i}-x_{i-1}=\Delta x,   i=1,\ldots,n$ . Na taj način smo i vodu u rezervaru podijelili na $ n$ dijelova pri čemu je $ i$ -ti dio približno jednak cilindru visine $ \Delta x$ i radijusa baze $ r_i$ . Iz sličnosti trokuta slijedi

$\displaystyle \frac{r_i}{10-x_i}=\frac{3}{10}, \qquad r_i=\frac{3}{10}(10-x_i).
$

Volumen $ i$ -tog dijela vode stoga je približno jednak

$\displaystyle V_i\approx r_i^2  \Delta x   \pi = \frac{9}{100} (10-x_i)^2   \Delta x 
\pi,
$

pa je masa $ i$ -tog dijela vode približno jednaka (masa je umnožak gustoće i volumena, a gustoća vode je $ \mathrm{1000  kg/m^3}$ )

$\displaystyle m_i\approx 90  (10-x_i)^2   \Delta x  \pi.
$

Sila potrebna za podizanje $ i$ -tog dijela vode mora nadići silu težu pa je

$\displaystyle F_i=m_ig\approx 9.81 \cdot 90   (10-x_i)^2   \Delta x  \pi \approx 2774  
(10-x_i)^2   \Delta x.
$

Svaka čestica u $ i$ -tom dijelu vode mora prijeći put koji je približno jednak $ x_i$ . Stoga je rad potreban za ispumpavanje $ i$ -tog dijela vode približno jednak

$\displaystyle W_i\approx F_i x_i \approx 2774   (10-x_i)^2   x_i   \Delta x.
$

Ukupni rad potreban za ispumpavanje čitavog rezervara dobit ćemo zbrajanjem doprinosa svih $ n$ dijelova i prelaskom na limes kada $ n\to \infty$ :

$\displaystyle W$ $\displaystyle \approx \lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^n 2774  (10-x_i)^2   x_i   \Delta x$    
  $\displaystyle =2774 \int_2^{10} (10-x^2) x   dx$    
  $\displaystyle =2774 \left(50   x^2 -20  \frac{x^3}{3}+ \frac{x^4}{4}\right)\bigg\vert _2^{10}$    
  $\displaystyle \approx 1.90 \times 10^6   \mathrm{J}.$    

Zadatak 2.6   Neka je za rastezanje opruge od njene prirodne duljine koja iznosi $ 32 \mathrm{cm}$ do duljine $ 40 \mathrm{cm}$ potreban rad od $ 2 \mathrm{J}$ .
a)
Koliki je rad potreban za rastezanje opruge od $ 35 \mathrm{cm}$ do $ 42 \mathrm{cm}$ ?
b)
Na kolikoj će rastegnutosti od prirodne duljine oprugu držati sila od $ 20 \mathrm{N}$ ?

Zadatak 2.7   Kabel dužine $ 40 \mathrm{m}$ i težine $ 60 \mathrm{kg}$ visi s vrha nebodera. Koliki je rad potreban za povlačenje $ 10 \mathrm{m}$ kabela na vrh nebodera?

Zadatak 2.8   Horizontalno položen cilindrični rezervar (cisterna) duljine $ 10 \mathrm{m}$ i radijusa baze $ 1.5 \mathrm{m}$ napunjen je do polovice benzinom gustoće $ \mathrm{760 kg/m^3}$ .
a)
Koliki je rad potreban da bi se gorivo ispumpalo kroz otvor koji se nalazi na vrhu rezervara?
b)
Ako se pumpa pokvari nakon rada od $ 10^6 \mathrm{J}$ , kolika je visina, kolika težina, a koliki volumen goriva koje je preostalo u rezervaru?


Oplošje rotacijskog tijela     Primjene određenog integrala     Hidrostatski tlak i sila