×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Sila i rad     Primjene određenog integrala     Momenti i težišta

Hidrostatski tlak i sila

Poznato je da se prilikom ronjenja tlak vode povećava s dubinom zarona i to stoga što se težina vode iznad ronioca povećava. Neka je, na primjer, tanka horizontalna ploča površine $A$ zaronjena u tekućinu gustoće $\rho \mathrm{kg/m^3}$ na dubinu od $d$ metara ispod površine tekućine (slika 2.26).

Slika: Zaronjena tanka ploča

Tekućina koja se nalazi direktno iznad ploče ima volumen $V=Ad$ pa je njena masa jednaka $m=\rho V = \rho A d$ . Sila kojom ta količina vode djeluje na ploču jednaka je

$$F=mg=\rho g A d,$$

pri čemu je $g$ ubrzanje sile teže. Tlak ( pritisak) $P$ definira se kao sila po jedinici površine:

$$P=\frac{F}{A}= \rho g d.$$

Jedinica za mjerenje tlaka je paskal, odnosno njutn po metru kvadratnom (pascal, $\mathrm{Pa=N/m^2}$ ). Paskal je jako mala jedinica pa se u praksi često koriste kilopaskali ( $\mathrm{kPa}$ ). Na primjer, tlak na dnu bazena dubine dva metra jednak je

$$P= \rho g d= \mathrm{1000 kg/m^3 \times 9,81 m/s^2 \times 2 m = 19620 Pa=19.62 kPa}.$$

Eksperimentalno je utvrđeno da je na svakom mjestu u tekućini pritisak jednak u svim smjerovima.

Za bolje razumijevanje hidrostatskog pritiska, izračunajmo pritisak vode na branu prikazanu na slici 2.27.

Slika 2.27: Hidrostatski pritisak na branu

Brana ima oblik trapeza, visoka je $\mathrm{40 m}$ , široka je na vrhu $\mathrm{100 m}$ , a na dnu $\mathrm{60 m}$ . Zrcalo vode se nalazi $\mathrm{5 m}$ ispod vrha brane. Ako postavimo koordinatnu $x$ -os tako da se ishodište nalazi na površini vode, dubina vode je $35 \mathrm{m}$ . Neka je $\{ x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ podjela intervala $[0,35]$ takva da su svi podintervali jednake duljine, $x_{i}-x_{i-1}=\Delta x, i=1,\ldots,n$ . Sada je $i$ -ti podjeljak brane približno jednak pravokutniku visine $\Delta x$ i širine $2y_i$ . Iz sličnosti trokuta slijedi

$$\frac{a}{35-x_i}=\frac{20}{40},$$

iz čega slijedi

$$a=\frac{35-x_i}{2},$$

pa je

$$2 y_i=2 (30+a)=2 \left(30+\frac{35-x_i}{2}\right)=95-x_i.$$

Površina $i$ -tog podjeljka brane je

$$A_i=2 y_i \Delta x= (95-x_i) \Delta x.$$

Kako je $\Delta x$ mali, možemo pretpostaviti da je tlak na $i$ -tom podjeljku brane gotovo konstantan i jednak

$$P_i=\rho g d = 1000\cdot 9.81\cdot x_i.$$

Hidrostatska sila koja djeluje na $i$ -ti podjeljak brane jednaka je umnošku tlaka i površine:

$$F_i=P_iA_i= 1000\cdot 9.81\cdot x_i (95-x_i) \Delta x.$$

Zbrajanjem ovih sila i uzimanjem limesa kada $n\to \infty$ dobili smo ukupnu hidrostatsku silu koja djeluje na branu:

$$F \approx \lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^n 9810 x_i (95-x_i) \Delta x$$

$$=9810 \int_0^{35} x (95-x) dx$$

$$=9810 \left(95 \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right)\bigg\vert _0^{35} \approx 4.31 \times 10^8 \mathrm{N}.$$

Zadatak 2.9   Bazen za plivanje dug je $\mathrm{15 m}$ , a širok je $\mathrm{7 m}$ , dok mu je dno ravna ploča dubine $\mathrm{1 m}$ na plićem kraju i $\mathrm{2 m}$ na dubljem kraju. Ako je bazen do vrha pun vode izračunajte hidrostatsku silu koja djeluje na: a) plići kraj bazena, b) dublji kraj bazena, c) jednu od bočnih stranica bazena i d) dno bazena.

Sila i rad     Primjene određenog integrala     Momenti i težišta