×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Linearne diferencijalne jednadžbe prvog     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Homogene jednadžbe

Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda

Linearna diferencijalna jednadžba drugog reda glasi

$$y''+p(x) y'+q(x) y=f(x),$$

pri čemu su funkcije $p$ , $q$ i $f$ neprekidne na nekom intervalu $\mathcal{I}\subseteq\mathbb{R}$ na kojem promatramo jednadžbu. Rješenje jednadžbe je svaka funkcija $y$ koja za bilo koji $x_0\in \mathcal{I}$ može zadovoljiti proizvoljne početne uvjete

$$y(x_0)=a, \qquad y'(x_0)=b.$$

Pripadna homogena jednadžba glasi

$$y''+p(x) y'+q(x) y=0.$$

U općenitom slučaju kada su $p$ i $q$ proizvoljne funkcije od $x$ , ne postoji univerzalna metoda za rješavanje linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda (5.14). No, takva metoda postoji u slučaju kada su $p$ i $q$ konstante (vidi poglavlje 5.9.3).

Poglavlje je organizirano na sljedeći način: prvo je uveden pojam linearne nezavisnosti funkcija. Potom je opisana struktura rješenja homogene jednadžbe (5.11). Nakon toga opisane su metode varijacije konstanti i metoda neodređenih koeficijenata za rješavanje nehomogene jednadžbe (5.14). Na kraju je opisan postupak rješavanja jednadžbe s konstantnim koeficijentima.

Definicija 5.2   Funkcije $y_1$ i $y_2$ su linearno nezavisne na intervalu $\mathcal{I}$ ako identitet

$$C_1 y_1(x)+ C_2 y_2(x)=0,\qquad \forall x\in \mathcal{I},$$ (5.10)

pri čemu su $C_1$ i $C_2$ realne konstante, povlači $C_1=C_2=0$ .

Ova definicija je formalno jednaka definiciji linearne nezavisnosti vektora (vidi M1, poglavlje 2.5). Provjera linearne nezavisnosti je nešto složenija i za nju su nam potrebni sljedeća definicija i teorem.

Definicija 5.3   Neka su $y_1, y_2:\mathcal{I}\to \mathbb{R}$ derivabilne funkcije. Funkcija

$$W(x)=\begin{vmatrix}y_1(x) & y_2(x) y'_1(x) & y'_2(x) \end{vmatrix} = y_1(x) y'_2(x)-y'_1(x) y_2(x)$$

je determinanta Wronskog ili Wronskijan funkcija $y_1$ i $y_2$ .

Teorem 5.1   Ako su funkcije $y_1$ i $y_2$ linearno zavisne na intervalu $\mathcal{I}$ , onda je njihov Wronskijan identično jednak nula.

Dokaz.

Neka je

$$C_1 y_1 + C_2 y_2 = 0,$$

pri čemu je, na primjer, $C_2\neq 0$ . Tada je $y_2=\lambda y_1$ za $\lambda=-C_1/C_2$ . No, tada je i

$$W=\begin{vmatrix}y_1 & \lambda y_1 y'_1 & \lambda y'_1 ... ...ix}y_1 & y_1 y'_1 & y'_1 \end{vmatrix} = 0,\qquad \forall x\in \mathcal{I}$$

i teorem je dokazan.    

Q.E.D.

Zaključujemo da su dvije funkcije linearno nezavisne čim je Wronskijan u barem jednoj točki različit od nule, što nije teško provjeriti.

Poglavlja

• Homogene jednadžbe
• Nehomogene jednadžbe
• Jednadžbe s konstantnim koeficijentima
• Slobodna, gušena i prisilna titranja

Linearne diferencijalne jednadžbe prvog     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Homogene jednadžbe