×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Duljina vektora, jedinični vektor,     VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA     Baza prostora


Linearna nezavisnost vektora

Definicija linearne nezavisnosti vektora u prostoru $ {\cal E}$ jednaka je definiciji linearne nezavisnosti stupčanih vektora iz poglavlja 2.5, pri čemu smo se ovdje ograničili na trodimenzionalni prostor.

Linearna kombinacija vektora $ \mathbf{a}_1,\cdots,
\mathbf{a}_k$ je vektor

$\displaystyle %
\mathbf{a}=\lambda_1\mathbf{a}_1+\lambda_2\mathbf{a}_2+\cdots+\lambda_k
\mathbf{a}_k, \quad \lambda_1,\cdots,\lambda_k\in \mathbb{R},
$

Vektori $ \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\cdots, \mathbf{a}_k$ su linearno nezavisni ako za sve skalare $ \lambda_1,\cdots,\lambda_k\in \mathbb{R}$

$\displaystyle %
\lambda_1\mathbf{a}_1+\lambda_2\mathbf{a}_2+\cdots+\lambda_k \mathbf{a}_k=
\mathbf{0} \quad \Rightarrow \quad \lambda_1= \cdots = \lambda_k=0.
$

U protivnom su vektori linearno zavisni. Drugim riječima, vektori $ \mathbf{a}_1,\cdots,
\mathbf{a}_k$ su linearno zavisni ako i samo ako postoje $ \lambda_1,\cdots,\lambda_k$ takvi da je

$\displaystyle %
\lambda_1\mathbf{a}_1+\lambda_2\mathbf{a}_2+\cdots+\lambda_k \mathbf{a}_k=
\mathbf{0},
$

pri čemu je $ \sum \vert\lambda_i\vert>0$ .

Ako je

$\displaystyle %
\mathbf{a}_1=\{x_1,y_1,z_1\},\cdots, \mathbf{a}_k=\{x_k,y_k,z_k\},
$

tada je linearna nezavisnost vektora $ \mathbf{a}_1,\cdots,
\mathbf{a}_k$ ekvivalentna s linearnom nezavisnošću stupaca matrice

$\displaystyle %
\begin{bmatrix}
x_1&x_2&\cdots&x_k\\
y_1&y_2&\cdots&y_k\\
z_1&z_2&\cdots&z_k
\end{bmatrix}.
$

Primjer 3.4   Svaka dva kolinearna vektora i svaka tri komplanarna vektora su linearno zavisna. Svaka četiri vektora u prostoru $ {\cal E}$ su linearno zavisna. Svaka dva nekolinearna vektora i svaka tri nekomplanarna vektora su linearno nezavisna.