×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Integrali ovisni o parametru     VIŠESTRUKI INTEGRALI     Nužni i dovoljni uvjeti

Varijacijski račun

U ovom poglavlju objasnit ćemo osnove varijacijskog računa (ili računa varijacija), metode koja služi za modeliranje i rješavanje važnih matematičkih, fizikalnih i inženjerskih problema.

Problemi varijacijskog računa svode se na diferencijalne jednadžbe. Za bolje razumijevanje izlaganja u ovom poglavlju potrebno je poznavati neke tehnike za rješavanje diferencijalnih jednadžbi iz glave 5, no gradivo je izloženo na način da je ta potreba svedena na minimum.

Izrazom

$$% begin{equation}\label{eq:var1} I(y)=\int\limits _a^b F(x,y,y') dx,$$

gdje je $y=y(x)$ neka neprekidno derivabilna funkcija i $a,b\in \mathbb{R}$ , definirana je funkcija $I$ funkcije $y(x)$ koja svakoj neprekidno derivabilnoj funkciji pridružuje vrijednost integrala $I$ . Funkcija (integral) $I$ se zove funkcional.

Primjer 4.18   Promotrimo funkcional

$$I(y)=\int\limits _0^1 (y+x y') dx.$$

Za $y=x$ je

$$I=\int\limits _0^1 (x+x\cdot 1) dx=2 \frac{x^2}{2} \bigg\vert _0^1 = 1,$$

za $y=2 x^2$ je

$$I=\int\limits _0^1 (2 x^2+x\cdot 4 x) dx=6 \frac{x^3}{3} \bigg\vert _0^1 = 2,$$

a za $y=e^x$ je

$$I=\int\limits _0^1 (e^x+x e^x) dx= (e^x + x e^x -e^x ) \bigg\vert _0^1 = e.$$

Zadatak je naći neprekidno derivabilnu funkciju $y$ za koju funkcional $I(y)$ dostiže ekstremnu vrijednost (ako takva funkcija postoji). Moguće je zahtijevati da funkcija $y$ zadovoljava i jedan ili oba rubna uvjeta:

$$y(a)=A, \qquad y(b)=B, \qquad A,B\in\mathbb{R}.$$

Primjer 4.19   Problem najkraćeg puta glasi: naći najkraći put između točaka $A=(x_0,y_0)$ i $B=(x_1,y_1)$ (vidi sliku 4.15). Prema poglavlju 2.6.2 duljina puta od točke $A$ do točke $B$ je

$$S=\int\limits _{x_0}^{x_1} \sqrt{1+y^{\prime 2}} dx$$

pa je rješenje zadatka krivulja $y=y(x)$ koja minimizira funkcional

$$I(y)=\int\limits _{x_0}^{x_1} \sqrt{1+y^{\prime 2}} dx,$$

a vrijednost funkcionala za tu krivulju daje duljinu najkraćeg puta.

Slika: Problem najkraćeg puta

Primjer 4.20   Problem najkraćeg vremena glasi: odredite krivulju po kojoj će teška materijalna točka ispuštena iz ishodišta kližući se bez trenja najbrže stići u točku $A=(a,b)$ (vidi sliku 4.16). Takva krivulja zove se brahistohrona.^4.7

Slika 4.16: Problem brahistohrone

Neka su $(x(t),y(t))$ koordinate materijalne točke u trenutku $t$ . Neka je $s$ prijeđeni put, $v$ brzina i $m$ masa materijalne točke. Konstantu gravitacije označit ćemo s $g$ . Prema zakonu o očuvanju energije vrijedi

$$\frac{1}{2} m v^2 -m g x=0,$$

odnosno,

$$v=\sqrt{2 g x}.$$

S druge strane je $v=ds/ dt$ pa nakon uvrštavanja i sređivanja imamo

$$dt=\frac{ds}{\sqrt{2 g x}}.$$

Prema poglavlju 2.6.2 element duljine luka jednak je $ds=\sqrt{1+y^{\prime 2}} dx$ pa je

$$dt=\sqrt{\frac{1+y^{\prime 2}}{2 g x}} dx.$$

Integral daje ukupno vrijeme spuštanja:

$$t=t(y)=\frac{1}{\sqrt{2 g}} \int\limits _0^a \sqrt{\frac{1+y^{\prime 2}}{x}} dx.$$

Dakle, brahistohrona je krivulja koja minimizira funkcional $t(y)$ .

Poglavlja

• Nužni i dovoljni uvjeti ekstrema
• Primjeri
• Uvjetni ekstrem
• Eulerova metoda konačnih razlika

Integrali ovisni o parametru     VIŠESTRUKI INTEGRALI     Nužni i dovoljni uvjeti