×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Linearne diferencijalne jednadžbe višeg     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     METODA NAJMANJIH KVADRATA I

Sustavi diferencijalnih jednadžbi

U ovom poglavlju opisat ćemo postupke rješavanja sustava linearnih diferencijalnih jednadžbi oblika

$$y' =f(x,y,t),$$

$$x' =g(x,y,t),$$

pri čemu je $x=x(t)$ i $y=y(t)$ .

Zanimljiv primjer je sustav grabežljivac-plijen (engleski predator-prey). Zamislimo sustav u kojem postoji populacija grabežljivaca (lovaca) i plijena (žrtve). Neka su, na primjer, grabežljivci vukovi, a plijen zečevi. Označimo redom populacije vukova i zečeva s $V$ i $Z$ . Izvedimo model ponašanja obaju populacija. Ukoliko nema vukova, pretpostavljamo da se zečevi razmnožavaju u skladu s populacijskom jednadžbom iz poglavlja 5.1,

$$\frac{dZ}{dt}=z Z,\qquad z>0.$$

Ukoliko nema zečeva, populacija vukova će odumirati, opet u skladu s populacijskom jednadžbom,

$$\frac{dV}{dt}=-v V,\qquad v>0.$$

Ukoliko u sustavu postoje obje populacije, onda će zbog međusobnih susreta populacija zečeva nazadovati, dok će populacija vukova napredovati. Ukoliko vjerojatnost susreta modeliramo produktom $ZV$ , dobili smo poznate Lotka-Volterraine jednadžbe:

$$\frac{dZ}{dt} =z Z-a Z V = Z (z-a V),$$

$$\frac{dV}{dt} =-v V+b Z V = V (-v+b Z),$$

pri čemu je $v,z,a,b>0$ . Stabilno stanje obaju populacija je ono u kojem nema promjena, odnosno ono stanje u kojem su obje derivacije jednake nuli. Vidimo da imamo dva stabilna stanja: trivijalno stanje u kojem nema ni vukova ni zečeva ($Z=0$ i $V=0$ ) i stanje u kojem je

$$V=\frac{z}{a}, \qquad Z=\frac{v}{b}.$$

Ako je, na primjer,

$$v=0.02,\quad z=0.06,\quad a=0.001,\quad b=0.00002,$$

sustav jednadžbi glasi

$$\frac{dZ}{dt} = Z (0.06-0.001 V),$$

$$\frac{dV}{dt} = V (-0.02+0.00002 Z)$$

pa je stabilno stanje sustava ono u kojem imamo 60 vukova i 1000 zečeva.

Sustav (5.32) nije moguće direktno riješiti. No, oblik sustava omogućava primjenu Eulerove metode iz poglavlja 5.4 pomoću koje možemo naći približno numeričko rješenje. Sljedeći Matlab program računa i crta ponašanje sustava (5.32) uz početne uvjete $V(0)=30$ i $Z(0)=800$ . Rješenja su prikazana na slici 5.21.^5.9

Octave On-line

% Eulerova metoda za sustav lovac-plijen: % dZ / dt = Z ( 0.06 - 0.001 * V ) % dV / dt = V ( -0.02 + 0.00002 * Z ) % V=vukovi, Z=zcevi % Pocetni uvjeti su V=30, Z=800 % Graf prikazuje populaciju kao funkciju vremena t0=0; tn=500; V(1)=30; Z(1)=800; h=0.1; t=t0:h:tn; n=max(size(t)); for i=2:n zDerivirano=Z(i-1)*(0.06-0.001*V(i-1)); vDerivirano=V(i-1)*(-0.02+0.00002*Z(i-1)); V(i)=V(i-1)+h*vDerivirano; Z(i)=Z(i-1)+h*zDerivirano; end title('Populacije vukova (V) i zeceva (Z/10) pocevsi od V=30, Z=800') xlabel('vrijeme') plot(t,Z/10,'r',t,V,'b')

     

[Octave On-line Home]    [Octave User's Guide]

Slika: Populacije vukova ($V$ ) i zečeva ($Z/10$ ) uz $V(0)=30$ i $Z(0)=800$

Sustav jednadžbi (5.32) može se egzaktno riješiti u faznom prostoru varijabla $V$ i $Z$ (jednu od tih varijabla tretiramo kao funkciju druge). Vrijedi

$$\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dZ}\cdot \frac{dZ}{dt}$$

iz čega slijedi jednadžba koja povezuje populacije vukova i zečeva:

$$\frac{dV}{dZ}=\frac{\displaystyle \frac{dV}{dt}}{\displaystyle \frac{dZ}{dt}} = \frac{V (-0.02+0.00002 Z)}{Z (0.06-0.001 V)}.$$ (5.32)

Polje smjerova (vidi poglavlje 5.3) ove jednadžbe prikazano je na slici 5.22. Na slici se lijepo vidi da su rješenja jednadžbe zatvorene ovalne krivulje koje prolaze kroz zadane početne uvjete. Lijepo se vidi i ravnotežno rješenje $V=60$ , $Z=1000$ .

Slika: Polje smjerova za populacije vukova i zečeva

Jednadžba (5.33) je jednadžba sa separiranim varijablama (vidi poglavlje 5.2) za koju je lako izračunati egzaktno rješenje. Vrijedi:

$$\frac{dV}{V} (0.06-0.001 V) = \frac{dZ}{Z} (-0.02+0.00002 Z)$$

pa je

$$0.06\ln V - 0.001 V = -0.02\ln Z +0.00002 Z + \ln C.$$

Dakle,

$$\ln V^{0.06} +\ln Z^{0.02} = 0.001 V + 0.00002 Z + \ln C,$$

odnosno rješenje jednadžbe dano je implicitno zadanom funkcijom

$$V^{0.06} Z^{0.02} = C e^{0.001 V} e^{0.00002 Z}.$$

Ako su zadani početni uvjeti $V(0)=30$ i $Z(0)=800$ , onda je

$$C=\frac{30^{0.06} 800^{0.02}}{e^{0.03} e^{0.016}}\approx 1.3388.$$

Funkcija je prikazana na slici 5.23.

Slika: Populacije vukova i zečeva uz uvjete $V(0)=30$ i $Z(0)=800$

Na kraju poglavlja opisat ćemo postupak rješavanja jednostavnih sustava diferencijalnih jednadžbi oblika

$$x' =\alpha x+\beta y + f(t),$$

$$y' =\gamma x+\delta y + g(t),$$

gdje je $x=x(t)$ i $y=y(t)$ . Sustav se rješava tako da se iz prve jednadžbe izračuna $y'$ i uvrsti u drugu, što daje linearnu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim koeficijentima.

Primjer 5.30   Riješimo sustav

$$x' =3 y-x,$$

$$y' =x+y + e^t$$

uz uvjete $x(0)=y(0)=0$ . Prva jednadžba daje

$$y=\frac{1}{3} x' +\frac{1}{3} x, \qquad y'= \frac{1}{3} x'' +\frac{1}{3} x'$$

pa uvrštavanje u drugu jednadžbu daje

$$\frac{1}{3} x''+\frac{1}{3} x'=x+\frac{1}{3} x' +\frac{1}{3} x+e^t,$$

odnosno

$$x''-4x=3e^t.$$ (5.33)

Prema poglavlju 5.9.3 vrijedi

$$x_H=C_1e^{-2t}+C_2 e^{2t}.$$

Uvrštavanjem partikularnog rješenja oblika $x_P=A e^t$ u jednadžbu (5.34) slijedi $A=-1$ pa opće rješenje jednažbe glasi

$$x=x_H+x_P=C_1e^{-2t}+C_2 e^{2t}-e^t.$$

Deriviranje daje

$$x'=-2 C_1e^{-2t}+2 C_2 e^{2t}-e^t$$

pa je

$$y=\frac{1}{3} x' +\frac{1}{3} x = -\frac{1}{3} C_1 e^{-2t}+ C_2 e^{2t} -\frac{2}{3} e^t.$$

Dakle, opće rješenje zadanog sustava (bez zadanih uvjeta) glasi

$$x(t) =C_1e^{-2t}+C_2 e^{2t}-e^t,$$

$$y(t) = -\frac{1}{3} C_1 e^{-2t}+ C_2 e^{2t} -\frac{2}{3} e^t.$$

Početni uvjeti daju sustav linearnih jednadžbi

$$x(0) =0=C_1+C_2-1,$$

$$y(0) =0=-\frac{1}{3} C_1+ C_2-\frac{2}{3},$$

s rješenjima $C_1=1/4$ i $C_2=3/4$ pa je rješenje zadanog sustava jednako

$$x(t) =\frac{1}{4} e^{-2t}+\frac{3}{4} e^{2t}-e^t,$$

$$y(t) = -\frac{1}{12} e^{-2t}+ \frac{3}{4} e^{2t} -\frac{2}{3} e^t.$$

Linearna diferencijalna jednadžba reda $k$ može se svesti na sustav od $k$ linearnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda.

Primjer 5.31   Promotrimo jednadžbu iz primjera 5.28 uz dodane početne uvjete:

$$y'''+y''=x, \qquad y(0)=0,\quad y'(0)=0,\quad y''(0)=0.$$

Supstitucije

$$y'=u,\quad y''=v,$$

daju sustav

$$y' =u$$

$$u' =v$$

$$v' =-v+x$$

uz početne uvjete

$$y(0)=0,\quad u(0)=0,\quad v(0)=0.$$

Zadatak 5.19  

a)

Riješite sustav diferencijalnih jednadžbi

$$\frac{dx}{dt}+3x+y=0,$$

$$\frac{dy}{dt}-x+y=0,$$

uz uvjete $x(0)=y(0)=1$ (rješenje: $x(t)=(1-2t) e^{-2t}$ , $y(t)=(1+2t) e^{-2t}$ ).

b)

Riješite sustav diferencijalnih jednadžbi

$$\frac{dx}{dt} =x+y,$$

$$\frac{dy}{dt} =t+x+y.$$

Linearne diferencijalne jednadžbe višeg     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     METODA NAJMANJIH KVADRATA I