×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Jednadžbe sa separiranim varijablama     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Eulerova metoda

Polje smjerova

Ako je funkcija $y=f(x)$ rješenje diferencijalne jednadžbe prvog reda

$$y'=F(x,y),$$

koje prolazi nekom točkom $(x_0,y_0)$ , onda je smjer tangente na krivulju $y=f(x)$ u točki $(x_0,y_0)$ dan upravo s $F(x_0,y_0)$ . Kako se svaka funkcija o okolini zadane točke ponaša kao tangenta (vidi M1, poglavlje 5.1.1), tako se i rješenje $y=f(x)$ u okolini točke $(x_0,y_0)$ ponaša približno slično kao pravac koji prolazi kroz točku $(x_0,y_0)$ i ima koeficijent smjera $F(x_0,y_0)$ .

Temeljem ovog razmatranja možemo napraviti sljedeće:

• odaberimo skup pravilno raspoređenih točaka $(x,y)$ u onom dijelu ravnine u kojem tražimo rješenje diferencijalne jednadžbe,
• kroz svaku od odabranih točaka nacrtamo mali dio pravca (segment) s koeficijentom smjera $F(x,y)$ .

Na taj način dobili smo polje smjerova (polje izoklina) diferencijalne jednadžbe $y'=F(x,y)$ . Polje smjerova nam najčešće daje dobru ideju o izgledu rješenja - krenemo li od početnog uvjeta, možemo skicirati krivulju $y=f(x)$ koristeći svojstvo da nam u svakoj točki nacrtani segment daje smjer kretanja krivulje.

Na slici 5.7 prikazana su polja smjerova za diferencijalne jednadžbe $y'=x+y$ i $y'=x^2+y^2-1$ .

Slika: Polje smjerova za jednadžbe a) $y'=x+y$ i b) $y'=x^2+y^2-1$

Slika 5.7 (b) nacrtana je pomoću sljedećeg Matlab programa:

Octave On-line

% Polje smjerova za y'=x^2+y^2-1 za -3<=x<=3 i -3<=y<=3 a=-3; b=3; c=-3; d=3; nX=15; nY=15; dX=(b-a)/nX; dY=(d-c)/nY; hold for i=1:nX+1, for j=1:nY+1, xx=a+i*dX; yy=c+j*dY; yDerivirano=xx^2+yy^2-1; x=xx-dX/4:dX/100:xx+dX/4; y=yDerivirano*(x-xx)+yy; plot (x,y,'b') end end

     

[Octave On-line Home]    [Octave User's Guide]

Primjer 5.10   Polje smjerova logističke jednadžbe iz primjera 5.6,

$$\frac{dP}{dt}=0.07 P \left(1-\frac{P}{1000}\right),$$

zajedno s rješenjima za početne uvjete $P(0)=100$ i $P(0)=1500$ prikazano je na slici 5.8.

Slika: Polje smjerova logističke jednadžbe

Zadatak 5.5   Za sljedeće diferencijalne jednadžbe skicirajte polje smjerova na području $[-2,2]\times [-3,3]$ i rješenja koja prolaze točkama $(0,0)$ , $(0,1)$ i $(0,-1)$ :

$$y' =y-e^{-x},$$

$$y' =2y(y-2),$$

$$y' =xy+y^2.$$

Jednadžbe sa separiranim varijablama     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Eulerova metoda