×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Jednadžbe sa separiranim varijablama

Populacijska i logistička jednadžba

Neka $P(t)$ označava broj jedinki neke populacije u trenutku $t$ . Najjednostavniji model rasta populacije je sljedeći: stopa rasta populacije proporcionalna je veličini populacije, odnosno promjena u populaciji bit će veća što je u populaciji više jedinki. Ovo je razumna pretpostavka za populacije bakterija ili životinja u idealnim uvjetima (neograničeni resursi, odgovarajuća prehrana, nepostojanje bolesti, nepostojanje prirodnih neprijatelja).

Kako je promjena populacije dana s $dP(t) dt$ , matematička formulacija rasta populacije glasi

$$\frac{dP}{dt}=kP.$$

Ova diferencijalna jednadžba rješava se slično kao i jednadžba iz primjera 5.2:

$$\frac{dP}{P} =k dt,$$

$$\ln \vert P\vert = kt+ C,$$

$$\vert P\vert =e^{kt} e^C,$$

$$P =A e^{kt}.$$

Konstantu $A$ možemo odrediti ako znamo inicijalnu (početnu) populaciju $P(0)=P_0$ . Onda je $P_0=P(0)=A e^0=A$ pa je rast populacije dan funkcijom

$$P(t)=P_0 e^{kt}.$$

Ako umjesto inicijalne populacije u trenutku $t=0$ znamo populaciju u nekom trenutku $t_0$ , $P(t_0)=P_0$ , onda je $P_0=A e^{kt_0}$ , odnosno $A=P_0 e^{-kt_0}$ pa je rast populacije dan funkcijom

$$P(t)=P_0 e^{k(t-t_0)}.$$

Konačno, uočimo sljedeće: ako je $k>0$ , onda populacija raste, a ako je $k<0$ , populacija se smanjuje.

Primjer 5.3   Tablica 5.1 prikazuje stanovništvo svijeta od 1750. godine^5.1.

Tablica: Stanovništvo svijeta od 1750. godine u milijunima stanovnika

godina	1750	1800	1850	1900	1950	1955	1960	1965
stanovništvo	791	978	1262	1650	2518	2755	3021	3334

godina	1970	1975	1980	1985	1990	1995	2000	2005
stanovništvo	3692	4068	4434	4830	5263	5674	6070	6453

Uzmemo li za početnu godinu $t_0=1750$ , imamo

$$P(t)=791 e^{k(t-1750)}.$$

Odredimo parametar $k$ koristeći zadnju godinu u tablici:

$$P(2005)=6453=791 e^{k(2005-1750)}.$$

Dakle,

$$k=\frac{\ln 6453 -\ln 791 }{255} \approx 0.0082314$$

pa je

$$P(t)=791 e^{0.0082314 (t-1750)}.$$

Funkcija $P(t)$ i podaci iz tablice 5.1 prikazani su na slici 5.4.

Slika: Rast svjetskog stanovništva od 1750. do 2005. godine

Funkcija $P(t)$ prolazi, doduše, točkama $(1750,791)$ i $(2005,6453)$ , ali ne opisuje dobro stvarni rast stanovništva. Razlog tome je jasan - jednostavni model kojeg smo izabrali očito ne uključuje sve parametre koji utječu na rast populacije. Međutim, ako se ograničimo samo na razdoblje od godine 1950. do danas, onda je

$$P(t)=2518 e^{k(t-1950)},\qquad k=\frac{\ln 6453 -\ln 2518 }{55} \approx 0.017111.$$

Na slici 5.5 vidimo da je sada preklapanje funkcije i stvarnih podataka puno bolje. Stopa rasta stanovništva je u tom razdoblju približno jednaka $1.7 \%$ , što je 2005. godine iznosilo 110 milijuna stanovnika godišnje. Iskoristimo li gornju formulu za predviđanje, 2050. godine će na svijetu biti 14 milijardi stanovnika:

$$P(2050)=2518 e^{0.017111 (2050-1950)}\approx 13937.$$

Slika: Rast svjetskog stanovništva od 1950. do 2005. godine

Primjer 5.4   Radioaktivni raspad također možemo modelirati populacijskom jednadžbom. Neka laboratorij ima $m=10 \mathrm{g}$ radija-226 $\left(\substack{226 88} \mathrm{Ra} \right)$ čije je vrijeme poluraspada 1602 godine^5.2. Izračunajmo koliko će radija biti na raspolaganju nakon sto godina i kada će laboratorij imati $7 \mathrm{g}$ radija-226 ?

Prvo je, kao i u prethodnom primjeru, potrebno utvrditi koeficijent $k$ , koji će u ovom slučaju biti negativan jer se radi o "opadanju populacije". Vrijeme poluraspada je vrijeme potrebno da se količina radioaktivne tvari svede na polovicu. Dakle, imamo redom

$$m(1602) =5=10 e^{k\cdot 1602},$$

$$\ln\frac{1}{2} =k\cdot 1602,$$

$$k = -\frac{\ln 2}{1602}.$$

Stoga je

$$m(100)=10 e^{-(\ln 2/1602) 100}\approx 9.5766$$

pa će laboratorij nakon sto godina imati $m=9.5766 \mathrm{g}$ radija-226. Iz

$$7=10 e^{-(\ln 2/1602) t}$$

slijedi

$$\ln\frac{7}{10}=-\frac{\ln 2}{1602} t,$$

odnosno

$$t=-\frac{1602}{\ln 2}\cdot \ln \frac{7}{10}\approx 824.35$$

pa će laboratorij imati $7 \mathrm{g}$ radija-226 nakon 824 godine.

Primjer 5.5   Kamatni račun s neprekidnim ukamaćivanjem također zadovoljava populacijsku jednadžbu: ako glavnicu $G_0$ oročimo s godišnjom kamatom $k$ (na primjer, za kamatu od 6% je $k=0.06$ ) i ako se kamata pripisuje $n$ puta godišnje, onda nakon $t$ godina glavnica iznosi

$$G(t)=G_0\left(1+\frac{k}{n}\right)^{nt}.$$

Naime, u $n$ -tom dijelu godine kamata je $k/n$ , ali se zato glavnica uvećava $n$ puta godišnje. Formula za neprekidno ukamaćivanje slijedi prelaskom na limes:

$$G(t) =\lim_{n\to\infty} G_0\left(1+\frac{k}{n}\right)^{nt}$$

$$=G_0 \lim_{n\to\infty}\left[\left(1+\frac{k}{n}\right)^{n/k}\right]^{kt}$$

$$=G_0 \left[ \lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}\right]^{kt}$$

pa je [M1, poglavlje 6.1.3]

$$G(t)=G_0 e^{kt}.$$

Na primjer, uz početni iznos od 1000 kuna i godišnju kamatu od 6% nakon tri godine glavnica uz jednogodišnje, polugodišnje, kvartalno, mjesečno, dnevno i neprekidno ukamaćivanje iznosi redom

$$G(3) =1000 (1.06)^3=1191.016$$

$$G(3) =1000 (1.03)^{6}=1194.052$$

$$G(3) =1000 (1.015)^{12}=1195.618$$

$$G(3) =1000 (1.005)^{36}=1196.681$$

$$G(3) =1000 \left(1+\frac{0.06}{365}\right)^{365\cdot 3}=1197.199$$

$$G(3) =1000 e^{0.06\cdot 3}=1197.217$$

Prirodni sustavi zbog svojih ograničenja ne mogu prihvatiti neograničenu populaciju pa često razmatramo sljedeći slučaj: populacija $P$ u početku raste eksponencijalno sa stopom rasta $k$ , ali se taj rast smanjuje kako se populacija približava maksimalnom (nosivom) kapacitetu sustava $K$ . Matematički takvo ponašanje možemo modelirati logističkom jednadžbom:

$$\frac{dP}{dt}=kP \left(1-\frac{P}{K}\right).$$

Mehanizam jednadžbe je sljedeći: kada ja populacija $P$ mala u odnosu na kapacitet $K$ , tada je izraz u zagradi približno jednak jedan, i populacija se ponaša prema populacijskoj jednadžbi. Kada se pak populacija približi maksimalnom kapacitetu, tada izraz u zagradi teži nuli što koči rast populacije. Riješimo jednadžbu: vrijedi redom

$$\int\frac{1}{P \left(1-\displaystyle \frac{P}{K}\right)} dP=\int k dt$$

$$\int\frac{K}{P (K-P)} dP=kt+C$$

$$\int \left(\frac{1}{P}+\frac{1}{K-P}\right) dP=kt+C$$

$$\ln\vert P\vert-\ln\vert K-P\vert=kt+C$$

$$\ln\left\vert\frac{K-P}{P}\right\vert = -kt-C$$

$$\left\vert\frac{K-P}{P}\right\vert=e^{-kt}e^{-C}$$

$$\frac{K}{P}-1=A e^{-kt}$$

pa je

$$P(t)=\frac{K}{1+A e^{-kt}}.$$

Konstantu $A$ možemo odrediti ako je zadana početna populacija $P(0)=P_0$ : iz $P(0)=P_0=K/(1+A)$ slijedi

$$A=\frac{K-P_0}{P_0}.$$

Primjer 5.6   Kultura bakterija ima stopu rasta $k=0.07$ na sat, a maksimalni kapacitet podloge je 1000 bakterija. Ako na početku imamo 100 bakterija, onda je $A=(1000-100)/100=9$ pa je

$$P(t)=\frac{1000}{1+9 e^{-0.07 t}}.$$

Tako ćemo, na primjer, nakon 12 sati imati $P(12)=205$ , a nakon 48 sati $P(48)=762$ bakterije. Ako na početku imamo 1500 bakterija, onda je $A=-1/3$ i

$$P(t)=\frac{1000}{1-\displaystyle \frac{1}{3} e^{-0.07 t}}$$

pa ćemo nakon 12 sati imati $P(12)=1168$ , a nakon 48 sati $P(48)=1012$ bakterija. Obje funkcije prikazane su na slici 5.6.

Slika: Rješenja logističke jednadžbe

Zadatak 5.1   Vijest se širi gradićem koji ima 1234 stanovnika tako da je brzina širenja vijesti proporcionalna umnošku broja stanovnika koji su vijest čuli i broja stanovnika koji vijest nisu čuli. U osam sati ujutro vijest je čulo 100 stanovnika, a do podne vijest je čulo pola grada. U koliko sati će 1000 stanovnika čuti vijest?

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Jednadžbe sa separiranim varijablama