×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Slobodna, gušena i prisilna     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Sustavi diferencijalnih jednadžbi

Linearne diferencijalne jednadžbe višeg reda

U ovom poglavlju poopćit ćemo rezultate iz poglavlja 5.9 na linearne jednadžbe višeg reda. Dokazi tvrdnji su slični dokazima iz poglavlja 5.9 pa ih izostavljamo.

Linearna diferencijalna jednadžba višeg reda glasi

$$y^{(n)}+p_{n-1}(x) y^{(n-1)}+\cdots + p_1(x) y'+p_0(x) y=f(x),$$ (5.27)

pri čemu su funkcije $p_i$ i $f$ neprekidne na nekom intervalu $\mathcal{I}\subseteq\mathbb{R}$ na kojem promatramo jednadžbu. Rješenje jednadžbe je svaka funkcija $y$ koja za bilo koji $x_0\in \mathcal{I}$ može zadovoljiti početne uvjete

$$y(x_0)=a_0, \quad y'(x_0)=a_1,\quad \ldots, \quad y^{(n-1)}(x_0)=a_{n-1}.$$

Pripadna homogena jednadžba glasi

$$y^{(n)}+p_{n-1}(x) y^{(n-1)}+\cdots + p_1(x) y'+p_0(x) y=0.$$ (5.28)

Za $n$ funkcija $y_1,\ldots,y_n$ kažemo da su linearno nezavisne na intervalu $\mathcal{I}$ ako relacija

$$C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)+\cdots + C_n y_n(x)=0,\qquad \forall x\in\mathcal{I},$$

povlači $C_1=C_2=\cdots=C_n=0$ . Wronskijan funkcija $y_1,\ldots,y_n$ je determinanta

$$W(y_1,y_2,\ldots,y_n)=\begin{vmatrix}y_1 & y_2&\cdots &y_n y'_... ...ts & & \vdots \\ y_1^{(n-1)}& y_2^{(n-1)}&\cdots & y_n^{(n-1)} \end{vmatrix}.$$

Wronskijan ili nikad nije nula ili je identično jednak nuli na intervalu $\mathcal{I}$ . Stoga su funkcije $y_1,\ldots,y_n$ linearno nezavisne ako i samo ako je $W(y_1,y_2,\ldots,y_n)(x)\neq 0$ za neki $x\in\mathcal{I}$ .

Opće rješenje jednadžbe (5.27) ima oblik

$$y=y_H+y_P,$$

gdje je $y_P$ neko partikularno rješenje, a $y_H$ je rješenje pripadne homogene jednadžbe (5.28). Rješenje homogene jednadžbe ima oblik

$$y_H=C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)+\cdots + C_n y_n(x),$$

pri čemu linearno nezavisne funkcije $y_1,\ldots,y_n$ tvore fundamentalan skup rješenja.

Ukoliko znamo rješenje nehomogene jednadžbe, partikularno rješenje nehomogene jednadžbe možemo naći metodom varijacije konstanti. Partikularno rješenje, $y_P$ , ima isti oblik kao i rješenje homogene jednadžbe $y_H$ , s tom razlikom što pretpostavljamo da $C_i$ nisu konstante već funkcije od $x$ . Formiramo sustav od $n$ linearnih jednadžbi u varijablama $C'_i$ :

$$C'_1 y_1+C'_2 y_2+\cdots + C'_n y_n =0$$

$$C'_1 y'_1+C'_2 y'_2+\cdots + C'_n y'_n =0$$

$$\vdots$$ (5.29)

$$C'_1 y^{(n-2)}_1+C'_2 y^{(n-2)}_2+\cdots +C'_n y^{(n-2)}_n =0$$

$$C'_1 y^{(n-1)}_1+C'_2 y^{(n-1)}_2+\cdots +C'_n y^{(n-1)}_n =f(x).$$

Determinanta ovog sustava je upravo Wronskijan $W(y_1,\ldots,y_n)$ koji je različit od nule pa sustav ima jedinstveno rješenje. Funkcije $C_i$ računaju se integriranjem rješenja sustava $C'_i$ .^5.8

Linearna diferencijalna jednadžba višeg reda s konstantnim koeficijentima glasi

$$y^{(n)}+p_{n-1} y^{(n-1)}+\cdots + p_1 y'+p_0 y=f(x),\qquad p_i \in\mathbb{R}.$$ (5.30)

Rješenje pripadne homogene jednadžbe,

$$y^{(n)}+p_{n-1} y^{(n-1)}+\cdots + p_1 y'+p_0 y=0,\qquad p_i \in\mathbb{R},$$ (5.31)

tražimo u obliku $y=e^{\lambda x}$ , pri čemu, prema prethodnom izlaganju, trebamo naći $n$ linearno nezavisnih rješenja. Uvrštavanje daje

$$\lambda^n e^{\lambda x} +p_{n-1} \lambda^{n-1} e^{\lambda x} + \cdots + p_1 \lambda e^{\lambda x} +p_0 e^{\lambda x}=0$$

pa su vrijednosti $\lambda$ rješenja karakteristične jednadžbe

$$\lambda^n+p_{n-1} \lambda^{n-1}+\cdots + p_1 \lambda +p_0 =0.$$

Linearno nezavisna rješenja homogene jednadžbe formiramo ovisno o karakteru rješenja karakteristične jednadžbe prema sljedećim pravilima:

1)

jednostrukom realnom rješenju karakteristične jednadžbe $\lambda$ odgovara rješenje homogene jednadžbe $e^{\lambda x}$ ,

2)

jednostrukom paru konjugirano kompleksnih rješenja karakteristične jednadžbe $\lambda=\alpha\pm i \beta$ odgovara par rješenja homogene jednadžbe $e^{\alpha x}\cos \beta x$ i $e^{\alpha x}\sin \beta x$ ,

3)

višestrukom realnom rješenju karakteristične jednadžbe $\lambda$ kratnosti $k$ odgovara $k$ rješenje homogene jednadžbe

$$e^{\lambda x},\quad x e^{\lambda x},\quad \ldots,\quad x^{k-1} e^{\lambda x},$$

4)

višestrukom paru konjugirano kompleksnih rješenja karakteristične jednadžbe $\lambda=\alpha\pm i \beta$ kratnosti $k$ odgovara $2k$ rješenja homogene jednadžbe

$$e^{\alpha x}\cos \beta x,\quad x e^{\alpha x}\cos \beta x,\quad \ldots, \quad x^{k-1} e^{\alpha x}\cos \beta x,$$

$$e^{\alpha x}\sin \beta x,\quad x e^{\alpha x}\sin \beta x,\quad \ldots, \quad x^{k-1} e^{\alpha x}\sin \beta x.$$

Primjer 5.28   Za jednadžbu

$$y'''+y''=x$$

karakteristična jednadžba glasi

$$\lambda^3+\lambda^2=0.$$

Rješenja karakteristične jednadžbe su $\lambda_1=\lambda_2=0$ i $\lambda_3=-1$ pa je rješenje pripadne homogene jednadžbe jednako

$$y_H=C_1 +C_2 x + C_3 e^{-x}.$$

Sustav (5.29) glasi

$$C'_1+C'_2 x +C'_3 e^{-x} =0$$

$$C'_2 -C'_3 e^{-x} =0$$

$$C'_3 e^{-x} =x.$$

Sustav ima jedinstveno rješenje jer je $W(1,x,e^{-x})=e^{-1}\neq 0$ . Pored toga sustav je već u trokutastom obliku pa je rješenje lako očitati:

$$C'_3= x e^x,\qquad C'_2= x,\qquad C'_1 = -x^2-x.$$

Integriranje daje

$$C_1(x) =\int (-x^2-x) dx= -\displaystyle \frac{x^3}{3}-\displaystyle \frac{x^2}{2},$$

$$C_2(x) =\int x dx=\frac{x^2}{2},$$

$$C_3(x) =\int x e^x dx= x e^x-e^x.$$

Partikularno rješenje je jednako

$$y_P=C_1(x) + C_2(x) x + C_3(x) e^{-x}=\frac{x^3}{6}-\frac{x^2}{2}+x-1$$

pa je opće rješenje zadane jednadžbe jednako

$$y=y_H+y_P=C_1 +C_2 x +C_3 e^{-x} + \frac{x^3}{6}-\frac{x^2}{2}$$

za neke konstante $C_1,C_2,C_3\in \mathbb{R}$ . Konstante možemo odrediti iz početnih uvjeta, ukoliko su zadani. Ako su, na primjer, zadani početni uvjeti $y(0)=y'(0)=y''(0)=0$ , uvrštavanje daje sustav jednadžbi

$$C_1+C_3=0, \qquad C_2-C_3=0, \qquad C_3-1=0,$$

pa je $C_1=-1$ , $C_2=1$ i $C_3=1$ .

Slično kao i u poglavlju 5.9.3, ako funkcija $f(x)$ u jednadžbi (5.30) ima oblik

$$f(x)=e^{ax}p(x)\cos bx+ e^{ax}q(x)\sin bx,$$

pri čemu su $p$ i $q$ polinomi stupnja manjeg ili jednakog $m$ , onda partikularno rješenje možemo naći i metodom neodređenih koeficijenata: ako je $a+i b$ nul-točka karakterističnog polinoma kratnosti $k$ , onda partikularno rješenje $y_P$ ima oblik

$$y_P=x^k e^{ax} [ (A_0+A_1 x+\cdots+A_{m}x^{m})\cos bx + \nonumber$$

$$+ (B_0+B_1 x+\cdots+B_{m}x^{m})\sin bx ].$$

Uvrštavanjem ove funkcije u jednadžbu (5.30) i izjednačavanjem odgovarajućih koeficijenata dobivamo sustav linearnih jednadžbi koji uvijek ima jedinstveno rješenje.

Primjer 5.29   Prema prethodnim formulama partikularno rješenje jednadžbe iz primjera 5.28 ima oblik (uz $a=0$ , $b=0$ , $m=1$ , $p(x)=x$ , $k=2$ )

$$y_P=x^2 e^{0x} (A_0+A_1x) =A_0x^2+A_1x^3.$$

Uvrštavanje u jednadžbu daje

$$6A_1+2A_0+6A_1x=x.$$

Izjednačavanje koeficijenata po potencijama od $x$ daje sustav jednadžbi

$$6 A_1+2 A_0 = 0, \qquad 6 A_1=1$$

pa je partikularno rješenje jednako

$$y_P=-\frac{1}{2} x^2+\frac{1}{6} x^3.$$

Zadatak 5.18   Riješite diferencijalne jednadžbe:

a)

$y'''+y'=\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x$
( $y=A + B\cos x + C \sin x - \ln \vert\cos x\vert + -\sin \ln \vert\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x + 1/\cos x\vert$ ),

b)

$y^{(6)}+y^{(3)}=1+e^x$
( $y =C-1+C_2 x + C_3 x^2 + C_4 e^{-x} + e^{x/2} (C_5 \cos \frac{\sqrt{3}}{2} x + C_6 \sin \frac{\sqrt{3}}{2}x ) + \frac{1}{6} x^3+\frac{1}{2} e^x$ ),

c)

$y'''+ 4 y'' + 5 y' =\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits ^2 x$ ,

d)

$y'''+2 y ' - 3 y =x e^x$ ,

e)

$y^{(v)} + y''' = 2\cos^2 (2x)$ .

Slobodna, gušena i prisilna     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Sustavi diferencijalnih jednadžbi