Snižavanje reda diferencijalne jednadžbe, 2. primjer

Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe $\displaystyle y^{\prime \prime}+y^{\prime}\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x=\sin (2x)$ .

Rješenje.

Diferencijalnu jednadžbu oblika $\displaystyle y^{\prime \prime}=f(x,y^{\prime})$ rješavamo svođenjem na diferencijalnu jednadžbu prvog reda pomoću supstitucije $\displaystyle y^{\prime}(x)=p(x)$ .

Uvrštavanje

$\displaystyle \displaystyle y^{\prime}(x)=p(x),\quad \displaystyle y^{\prime \prime}(x)=p^{\prime}(x),$

u zadanu diferencijalnu jednadžbu daje

$\displaystyle p^{\prime}+p\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x=\sin (2x).$

Ovo je linearna diferencijalna jednadžba prvog reda koju ćemo riješiti primjenom formule

[M2, poglavlje 5.8]. Vrijedi

$\displaystyle p(x)$	$\displaystyle = e^{-\int \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x dx}\left[\int \sin (2x)e^{\int\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x dx}dx+C_1\right]$
	$\displaystyle = e^{\ln \vert\cos x\vert}\left[\int 2\sin x\cos xe^{-\ln \vert\cos x\vert}dx+C_1\right]$
	$\displaystyle = \vert\cos x\vert\left[2sgn (\cos x)\int \sin x dx+C_1\right]$
	$\displaystyle = \vert\cos x\vert\left[2sgn (\cos x) \cdot (-\cos x)+C_1\right]$
	$\displaystyle = -2\cos^2x+C_1\cos x.$