Snižavanje reda diferencijalne jednadžbe, 3. primjer

Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe $\displaystyle 2(y^{\prime})^2=(y-1)y^{\prime \prime}$ .

Rješenje.

U slučaju kada diferencijalna jednadžba ne sadrži eksplicitno nezavisnu varijablu tj. ima oblik $\displaystyle y^{\prime \prime}=f(y,y^{\prime})$ rješavamo ju uvođenjem supstitucije $\displaystyle y^{\prime}(x)=p(y)$ . Tada je $\displaystyle y^{\prime \prime}(x)=\frac{dp}{dy}p(y)$ .

Nakon ovih zamjena zadana diferencijalna jednadžba poprima sljedeći oblik

$\displaystyle p\left[2p-(y-1)\frac{dp}{dy}\right]=0.$

Iz $\displaystyle p(y)=\frac{dy}{dx}=0$ dobivamo partikularno rješenje diferencijalne jednadžbe $\displaystyle y=C$ .

Iz $\displaystyle 2p-(y-1)\frac{dp}{dy}=0$ ćemo, separiranjem varijabli, doći do općeg rješenja zadane diferencijalne jednadžbe. Naime, vrijedi

$\displaystyle \frac{dp}{2p}$	$\displaystyle = \frac{dy}{y-1}$
$\displaystyle \frac{1}{2}\ln \vert p\vert$	$\displaystyle = \ln \vert y-1\vert+\ln C_1$
$\displaystyle p$	$\displaystyle = C_1^2(y-1)^2$
$\displaystyle \frac{dy}{dx}$	$\displaystyle = C_1^2(y-1)^2$
$\displaystyle \frac{dy}{C_1^2(y-1)^2}$	$\displaystyle = dx.$

Nakon integriranja dobivamo opće rješenje oblika $\displaystyle (x+C_2)(y-1)=C_1$ .

Snižavanje reda diferencijalne jednadžbe, DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE Homogene LDJ drugog reda