Homogene LDJ drugog reda s konstantnim koeficijentima

Odredite opća odnosno partikularna rješenja diferencijalnih jednadžbi:

a): $\displaystyle y^{\prime \prime}-5y^{\prime}-6y=0$ ,
b): $\displaystyle y^{\prime \prime}-2y^{\prime}+y=0$ , $\displaystyle y(0)=4$ , $\displaystyle y^{\prime}(0)=2$ ,
c): $\displaystyle y^{\prime \prime}+4y^{\prime}+13y=0$ .

Rješenje.

Prema [M2, poglavlje 5.10], opće rješenje homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima ima oblik $\displaystyle y(x)= C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$ gdje su i linearno nezavisna partikularna rješenja do kojih ćemo doći rješavajući karakterističnu jednadžbu zadane diferencijalne jednadžbe. Karakterističnu jednadžbu formiramo na način da u zadanoj diferencijalnoj jednadžbi umjesto $\displaystyle y^{\prime \prime}$ pišemo $\displaystyle \lambda ^2$ , umjesto $\displaystyle y^{\prime}$ pišemo $\displaystyle \lambda$ i umjesto $\displaystyle y$ pišemo . Dobivamo kvadratnu jednadžbu u varijabli $\displaystyle \lambda$ čija rješenja, $\lambda _1$ i $\lambda _2$ , određuju oblik općeg rješenja diferencijalne jednadžbe na sljedeći način:

ako su $\lambda _1$ i $\lambda _2$ realni i različiti brojevi, onda opće rješenje glasi $\displaystyle y(x)=C_1e^{\lambda _1x}+C_2e^{\lambda _2x}$ ,
ako su $\lambda _1$ i $\lambda _2$ realni i jednaki brojevi, odnosno, $\displaystyle \lambda _1=\lambda _2=\lambda$ , onda opće rješenje glasi $\displaystyle y(x)=C_1e^{\lambda x}+C_2xe^{\lambda x}$ ,
ako su $\lambda _1$ i $\lambda _2$ konjugirano kompleksni brojevi, odnosno, $\displaystyle \lambda _{1,2}= a\pm bi$ , onda opće rješenje glasi $\displaystyle y(x)=e^{ax}\left(C_1\cos (bx)+C_2\sin (bx)\right)$ .

a): Karakteristična jednadžba glasi $\displaystyle \lambda ^2-5\lambda -6=0$ . Njena rješenja su $\displaystyle \lambda _1=6$ i $\displaystyle \lambda _2=-1$ pa opće rješenje zadane diferencijalne jednadžbe glasi $\displaystyle y(x)=C_1e^{6x}+C_2e^{-x}$ .
b): Karakteristična jednadžba $\displaystyle \lambda ^2-2\lambda +1$ ima rješenja $\displaystyle \lambda _{1,2}=1$ pa je opće rješenje diferencijalne jednadžbe $\displaystyle y(x)=e^x(\left(C_1+C_2x\right)$ . Iz uvjeta $\displaystyle y(0)=4$ dobivamo $\displaystyle C_1=4$ , a iz uvjeta $\displaystyle y^{\prime}(0)=2$ dobivamo $\displaystyle C_2=-2$ . Dakle, rješenje je $\displaystyle y(x)=e^x(4-2x)$ .
c): Rješenja karakteristične jednadžbe $\displaystyle \lambda ^2+6\lambda +13=0$ su $\displaystyle \lambda _{1,2}=-3\pm 2i$ pa je opće rješenje zadane diferencijalne jednadžbe $\displaystyle y(x)=e^{-3x}\left(C_1\cos (2x)+C_2\sin (2x)\right)$ .

Snižavanje reda diferencijalne jednadžbe, DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE Nehomogene LDJ drugog reda