×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Homogene LDJ drugog reda     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Homogene LDJ višeg reda

Nehomogene LDJ drugog reda s konstantnim koeficijentima

Izračunajte opća odnosno partikularna rješenja sljedećih diferencijalnih jednadžbi:

a)

$$y^{\prime \prime}-2y^{\prime}+2y=x^2$$ ,

b)

$$y^{\prime \prime}-8y^{\prime}+16y=e^{4x}$$ , ako je $$y(0)=0$$ i $$y^{\prime}(0)=1$$ ,

c)

$$y^{\prime \prime}+y=5\sin 2x$$ ,

d)

$$y^{\prime \prime}+y^{\prime}=4x^2e^x$$ ,

e)

$$y^{\prime \prime}+2y^{\prime}+2y=e^x\sin x$$ .

Rješenje.

Opće rješenje nehomogene diferencijalne jednadžbe oblika $$y^{\prime \prime}+ay^{\prime}+by=f(x)$$ je zbroj rješenja pripadne homogene diferencijalne jednadžbe i partikularnog rješenja nehomogene jednadžbe, odnosno, $$y(x)=y_H(x)+y_P(x)$$ . Rješenje pripadne homogene jednadžbe odredit ćemo kao u prethodnom zadatku, a do partikularnog rješenja možemo doći na dva načina. Prvi način, metodu neodređenih koeficijenata, pokazat ćemo u ovom zadatku, a u sljedećem zadatku ćemo primjeniti drugi način, metodu varijacije konstanti.

Neka funkcija $f(x)$ ima poseban oblik

$$f(x)=e^{ax}p(x)\cos bx+ e^{ax}q(x)\sin bx,$$ (5.7)

pri čemu su $p$ i $q$ polinomi stupnja najviše $m$ . Ako je $a+i b$ nul-točka karakterističnog polinoma kratnosti $k$ za neki $k\in\{0,1,2\}$ , onda partikularno rješenje ima oblik

$$y_P=x^k e^{ax} [ (A_0+A_1 x+\cdots+A_{m}x^{m})\cos bx + (B_0+B_1 x+\cdots+B_{m}x^{m})\sin bx ].$$

Uvrštavanjem ove funkcije u zadanu jednadžbu i izjednačavanjem odgovarajućih koeficijenata dobivamo sustav linearnih jednadžbi koji uvijek ima jedinstveno rješenje. Ova metoda se zove metoda neodređenih koeficijenata.

a)

Najprije riješimo pripadnu homogenu diferencijalnu jednadžbu $$y^{\prime \prime}-2y^{\prime}+2y=0$$ . Njena karakteristična jednadžba je $$\lambda ^2-2\lambda +2=0$$ . Rješenja karakteristične jednadžbe su $$\lambda _{1,2}=1\pm i$$ pa rješenje homogene diferencijalne jednadžbe glasi $$y_H(x)=\left(C_1\cos x+C_2\sin x\right)e^x$$ .

Uspoređujući funkciju $f(x)=x^2$ s (5.7), vidimo da je $m=2$ , $a=0$ , $b=0$ i $k=0$ , pa partikularno rješenje ima oblik $$y_P(x)=Ax^2+Bx+C$$ . Da bismo odredili koeficijente $A$ , $B$ i $C$ u zadanu diferencijalnu jednadžbu ćemo uvrstiti $y_P$ , $y^{\prime}_P$ i $y^{\prime \prime}_P$ . Na taj način dobivamo jednakost

$$2Ax^2+(-4A+2B)x+(2A-2B+2C)=x^2.$$

Izjednačavanje koeficijenata i rješavanje dobivenog sustava linearnih jednadžbi daje

$$A=\frac{1}{2}, \quad B=1 \quad C=\frac{1}{2}.$$

Dakle, $y_P(x)=\frac{1}{2}(x+1)^2$ pa opće rješenje zadane diferencijalne jednadžbe glasi

$$\displaystyle y(x)=\left(C_1\cos x+C_2\sin x\right)e^x +\frac{1}{2}(x+1)^2.$$

b)

Pripadna homogena jednadžba je $$y^{\prime \prime}-8y^{\prime}+16y=0$$ , karakteristična jednadžba je $$\lambda ^2-8\lambda +16=0$$ , a rješenja karakteristične jednadžbe su $$\lambda _{1,2}=4$$ . Dakle, $$y_H(x)=C_1e^{4x}+C_2xe^{4x}$$ . Uspoređujući funkciju $$f(x)=e^{4x}$$ s (5.7), vidimo da je $m=0$ , $4=0$ , $b=0$ i $k=2$ , pa je $$y_P(x)=x^2e^{4x}A$$ za neku konstantu $A$ . Uvrštavanjem u zadanu jednadžbu dobivamo $A=\frac{1}{2}$ pa opće rješenje glasi

$$\displaystyle y(x)=C_1e^{4x}+C_2xe^{4x}+\frac{x^2e^{4x}}{2}.$$

Uvrštavanjem zadanih početnih uvjeta slijedi $$C_1=0$$ i $C_2=1$ pa rješenje problema početnih uvjeta glasi

$$\displaystyle y(x)=xe^{4x}\left(1+\frac{1}{2}x\right).$$

c)

Pripadna homogena jednadžba glasi $$y^{\prime \prime}+y=0$$ . Njena karakteristična jednadžba ima rješenja $$\lambda _{1,2}=\pm i$$ pa je $$y_H(x)=C_1\cos x+C_2\sin x$$ . Ovdje je $$f(x)=5\sin (2x)$$ pa iz (5.7) slijedi $m=0$ , $a=0$ , $b=2$ i $k=0$ , odnosno, partikularno rješenje ima oblik $$y_P(x)=A\cos 2x+B\sin 2x$$ . Uvrštavanjem $$y_P$$ , $$y^{\prime}_P$$ i $$y^{\prime \prime}_P$$ u zadanu diferencijalnu jednadžbu dobivamo jednakost

$$-3A\cos 2x-3B\sin 2x=5\sin 2x.$$

Izjednačavanjem koeficijenata dobivamo $$A=0$$ i $B=-\frac{5}{3}$ . Dakle, partikularno rješenje je $y_P(x)=-\frac{5}{3}\sin 2x$ , a opće rješenje je

$$y(x)=C_1\cos x+C_2\sin x-\frac{5}{3}\sin 2x.$$

d)

Rješenja karakteristične jednadžbe su $$\lambda _1=0$$ i $$\lambda _2=-1$$ pa je

$$\displaystyle y_H(x)=C_1+C_2e^{-x}.$$

Budući je $$f(x)=4x^2e^x$$ , usporedba s (5.7) daje $m=2$ , $a=1$ , $b=0$ i $k=0$ . Dakle, partikularno rješenje je oblika $$y_P(x)=\left(A x^2+Bx+C\right)e^x$$ . Uvrštavanjem $y_P$ u jednadžbu, izjednačavanjem koeficijenata i rješavanjem sustava linearnih jednadžbi dobivamo $A=2$ , $B=-6$ i $C=7$ , pa opće rješenje zadane diferencijalne jednadžbe glasi

$$\displaystyle y(x)=C_1+C_2e^{-x}+(2x^2-6x+7)e^x.$$

e)

Rješenja karakteristične jednadžbe diferencijalne $$\lambda _{1,2}=-1\pm i$$ pa je $y_H(x)=C_1e^{-x}\cos x+C_2e^{-x}\sin x$ . Vrijedi $$f(x)=e^x\sin x$$ , pa usporedba s (5.7) povlači $m=0$ , $a=1$ , $b=1$ i $k=0$ , odnosno, partikularno rješenje je oblika $y_P(x)=e^x(A\cos x+B\sin x)$ . Uvrštavanjem $y_P$ u jednadžbu, izjednačavanjem koeficijenata i rješavanjem sustava linearnih jednadžbi dobivamo $A=-\frac{1}{8}$ i $B=\frac{1}{8}$ pa opće rješenje zadane diferencijalne jednadžbe glasi

$$\displaystyle y(x)=C_1e^{-x}\cos x+C_2e^{-x}\sin x+\frac{1}{8}e^x\left(-\cos x+\sin x\right).$$

Homogene LDJ drugog reda     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Homogene LDJ višeg reda