×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Egzaktne jednadžbe i integrirajući     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Linearne diferencijalne jednadžbe drugog

Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda

Linearna diferencijalna jednadžba prvog reda ima oblik

$$y'+p(x) y=q(x).$$ (5.8)

Rješenje jednadžbe je

$$y=\frac{1}{\mu(x)} \left[ \int q(x) \mu(x) dx+ C\right], \qquad \mu(x)=e^{\int p(x) dx}.$$ (5.9)

Ako je $q(x)=0$ , jednadžba je homogena

$$y'+p(x) y=0.$$

Ovo je jednadžba sa separiranim varijablama:

$$\frac{dy}{y}=-p(x) dx.$$

Dakle,

$$\ln y=-\int p(x) dx+\ln C,$$

odnosno, rješenje homogene jednadžbe glasi

$$y=C e^{-\int p(x) dx}.$$

U nehomogenom slučaju jednadžba (5.8) je ekvivalentna s

$$dy + [p(x) y -q(x)] dx=0.$$

Iz

$$\frac{d\mu}{\mu}= \frac{P'_y-Q'_x}{Q} dx=\frac{p(x)-0}{1} dx=p(x) dx$$

zaključujemo da je integrirajući faktor dan s

$$\mu(x)=e^{\int p(x) dx}.$$

Množenjem jednadžbe (5.8) integrirajućim faktorom imamo

$$e^{\int p(x) dx} y'+e^{\int p(x) dx} p(x) y= e^{\int p(x) dx} q(x).$$

Formula za deriviranje produkta daje

$$\left[e^{\int p(x) dx} y\right]'=e^{\int p(x) dx} q(x),$$

a integriranje daje

$$e^{\int p(x) dx} y= \int e^{\int p(x) dx} q(x) dx+C$$

i formula (5.9) je dokazana.

Primjer 5.18   Riješimo diferencijalnu jednadžbu

$$y'=2y+x,\qquad y(0)=2.$$

Vrijedi

$$\mu(x)=e^{\int (-2) dx}=e^{-2x}$$

pa je

$$y=e^{2x}[C + \int e^{-2x}x dx].$$

Parcijalna integracija daje

$$\int e^{-2x}x dx=-\frac{1}{2} x e^{-2x}-\frac{1}{4} e^{-2x}$$

pa opće rješenje glasi

$$y=e^{2x} \left[ C-\frac{1}{2} x e^{-2x}-\frac{1}{4} e^{-2x}\right] = C e^{2x}-\frac{1}{2} x -\frac{1}{4}.$$

Početni uvjet daje

$$y(0)=C-\frac{1}{4}= 2.$$

Dakle, $C=9/4$ pa je rješenje zadanog problema funkcija

$$y(x)=\frac{9}{4} e^{2x}-\frac{1}{2} x -\frac{1}{4}.$$

Zadatak 5.12   Riješite diferencijalne jednadžbe:

a)

$y'-y\sin x=\sin x\cos x$ ,

b)

$y'+\displaystyle \frac{2}{x} y=x^3$ ,

c)

$(1+x^2) y'-2xy=(1+x^2)^2$ , uz uvjet $y(0)=1$ .

Primjer 5.19   Bernoullijeva diferencijalna jednadžba glasi

$$y'=p(x) y+q(x) y^r, \qquad r\in \mathbb{R}.$$

Ako je $r=0$ , radi se o linearnoj diferencijalnoj jednadžbi prvog reda oblika (5.8). Ako je $r=1$ , onda imamo homogenu jednadžbu $y'=[p(x)+q(x)] y$ . U ostalim slučajevima koristimo supstituciju $w=y^{1-r}$ . Uvrštavanjem

$$y'=\left[w^{\frac{1}{1-r}}\right]' = \frac{1}{1-r} w^{\frac{1}{1-r}-1} w' = \frac{1}{1-r} w^{\frac{r}{1-r}} w'$$

dobili smo linearnu diferencijalnu jednadžbu prvog reda

$$\frac{1}{1-r} w^{\frac{r}{1-r}} w' =p(x) w^{\frac{1}{1-r}} + q(x) w^{\frac{r}{1-r}},$$

odnosno

$$w'=(1-r) p(x) w + (1-r) q(x).$$

Zadatak 5.13   Riješite diferencijalne jednadžbe:

a)

$xy'=y+e^xy^3$     (rješenje: $y=(C/x^{2}-2 e^x/x+2 e^x/x^2)^{-1/2}$ ),

b)

$y'+\displaystyle \frac{y}{x}=x^2y^4$     (rješenje: $y=1/(x\sqrt[3]{3\ln \vert C/x\vert})$ ).

Egzaktne jednadžbe i integrirajući     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Linearne diferencijalne jednadžbe drugog