×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Egzaktne jednadžbe i integrirajući     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Linearne diferencijalne jednadžbe drugog


Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda

Linearna diferencijalna jednadžba prvog reda ima oblik

$\displaystyle y'+p(x)  y=q(x).$ (5.8)

Rješenje jednadžbe je

$\displaystyle y=\frac{1}{\mu(x)}  \left[ \int q(x)  \mu(x)  dx+ C\right], \qquad \mu(x)=e^{\int p(x)  dx}.$ (5.9)

Ako je $ q(x)=0$ , jednadžba je homogena

$\displaystyle y'+p(x)  y=0.
$

Ovo je jednadžba sa separiranim varijablama:

$\displaystyle \frac{dy}{y}=-p(x)  dx.
$

Dakle,

$\displaystyle \ln y=-\int p(x)  dx+\ln C,
$

odnosno, rješenje homogene jednadžbe glasi

$\displaystyle y=C  e^{-\int p(x)  dx}.
$

U nehomogenom slučaju jednadžba (5.8) je ekvivalentna s

$\displaystyle dy + [p(x)  y -q(x)]  dx=0.
$

Iz

$\displaystyle \frac{d\mu}{\mu}=
\frac{P'_y-Q'_x}{Q}  dx=\frac{p(x)-0}{1}  dx=p(x)  dx
$

zaključujemo da je integrirajući faktor dan s

$\displaystyle \mu(x)=e^{\int p(x)  dx}.
$

Množenjem jednadžbe (5.8) integrirajućim faktorom imamo

$\displaystyle e^{\int p(x)  dx} y'+e^{\int p(x)  dx} p(x)  y=
e^{\int p(x)  dx} q(x).
$

Formula za deriviranje produkta daje

$\displaystyle \left[e^{\int p(x)  dx} y\right]'=e^{\int p(x)  dx} q(x),
$

a integriranje daje

$\displaystyle e^{\int p(x)  dx} y= \int e^{\int p(x)  dx} q(x)  dx+C
$

i formula (5.9) je dokazana.

Primjer 5.18   Riješimo diferencijalnu jednadžbu

$\displaystyle y'=2y+x,\qquad y(0)=2.
$

Vrijedi

$\displaystyle \mu(x)=e^{\int (-2)  dx}=e^{-2x}
$

pa je

$\displaystyle y=e^{2x}[C + \int e^{-2x}x  dx].
$

Parcijalna integracija daje

$\displaystyle \int e^{-2x}x  dx=-\frac{1}{2}  x  e^{-2x}-\frac{1}{4} e^{-2x}
$

pa opće rješenje glasi

$\displaystyle y=e^{2x}  \left[ C-\frac{1}{2}  x  e^{-2x}-\frac{1}{4} e^{-2x}\right] =
C e^{2x}-\frac{1}{2} x -\frac{1}{4}.
$

Početni uvjet daje

$\displaystyle y(0)=C-\frac{1}{4}= 2.
$

Dakle, $ C=9/4$ pa je rješenje zadanog problema funkcija

$\displaystyle y(x)=\frac{9}{4}  e^{2x}-\frac{1}{2} x -\frac{1}{4}.
$

Zadatak 5.12   Riješite diferencijalne jednadžbe:
a)
$ y'-y\sin x=\sin x\cos x$ ,
b)
$ y'+\displaystyle \frac{2}{x}  y=x^3$ ,
c)
$ (1+x^2) y'-2xy=(1+x^2)^2$ , uz uvjet $ y(0)=1$ .

Primjer 5.19   Bernoullijeva diferencijalna jednadžba glasi

$\displaystyle y'=p(x)  y+q(x) y^r, \qquad r\in \mathbb{R}.
$

Ako je $ r=0$ , radi se o linearnoj diferencijalnoj jednadžbi prvog reda oblika (5.8). Ako je $ r=1$ , onda imamo homogenu jednadžbu $ y'=[p(x)+q(x)] y$ . U ostalim slučajevima koristimo supstituciju $ w=y^{1-r}$ . Uvrštavanjem

$\displaystyle y'=\left[w^{\frac{1}{1-r}}\right]' = \frac{1}{1-r}  w^{\frac{1}{1-r}-1}  w'
= \frac{1}{1-r}  w^{\frac{r}{1-r}}  w'
$

dobili smo linearnu diferencijalnu jednadžbu prvog reda

$\displaystyle \frac{1}{1-r}  w^{\frac{r}{1-r}}  w' =p(x)  w^{\frac{1}{1-r}} + q(x) w^{\frac{r}{1-r}},
$

odnosno

$\displaystyle w'=(1-r)  p(x)  w + (1-r)  q(x).
$

Zadatak 5.13   Riješite diferencijalne jednadžbe:
a)
$ xy'=y+e^xy^3$     (rješenje: $ y=(C/x^{2}-2 e^x/x+2 e^x/x^2)^{-1/2}$ ),
b)
$ y'+\displaystyle \frac{y}{x}=x^2y^4$     (rješenje: $ y=1/(x\sqrt[3]{3\ln
\vert C/x\vert})$ ).


Egzaktne jednadžbe i integrirajući     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Linearne diferencijalne jednadžbe drugog