×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Opće rješenje diferencijalne jednadžbe     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Snižavanje reda diferencijalne jednadžbe,

Snižavanje reda diferencijalne jednadžbe, 1. primjer

Ako se u diferencijalnoj jednadžbi drugog reda, kojoj je opći oblik $$y^{\prime \prime}=f(x,y,y^{\prime})$$ , ne pojavljuje eksplicitno jedna od varijabli $x$ , $y$ ili $y^{\prime }$ , onda kažemo da je diferencijalna jednadžba nepotpuna te ju možemo riješiti snižavanjem (reduciranjem) reda.

Odredite partikularno rješenje diferencijalne jednadžbe $$y^{\prime \prime}=xe^{-x}$$ uz početne uvjete $$y(0)=1$$ , $$y^{\prime}(0)=0$$ .

Rješenje.

Ova diferencijalna jednadžba drugog reda ima oblik $$y^{\prime \prime}=f(x)$$ pa njeno opće rješenje dobivamo uzastopnim integriranjem zadane jednadžbe.

Integriranje po varijabli $x$ daje

$$y^{\prime}(x)=-xe^{-x}-e^{-x}+C_1.$$

Uvrštavanje zadanog uvjeta $$y^{\prime}(0)=0$$ daje $$C_1=1$$ . Prethodnu jednakost integriramo još jednom i dobivamo

$$y(x)=(x+2)e^{-x}+C_1\cdot x+C_2.$$

Uvrštavanje uvjeta $$y(0)=1$$ daje $$C_2=-1$$ .

Dakle, partikularno rješenje zadane diferencijalne jednadžbe, uz zadane početne uvjete, je $$y(x)=(x+2)e^{-x}+x-1$$ .