×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Eulerova metoda     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Snižavanje reda diferencijalne jednadžbe,

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe drugog reda

Ispitajte je li $$y=C_1x^{\frac{3}{2}}+C_2$$ opće rješenje diferencijalne jednadžbe $$2xy^{\prime \prime}-y^{\prime}=0$$ u području $x>0$ i odredite partikularno rješenje koje odgovara početnim uvjetima $$y(1)=4$$ , $$y^{\prime}(1)=3$$ .

Rješenje.

Funkciju $$y(x)=C_1x^{\frac{3}{2}}+C_2$$ dva puta deriviramo i dobivamo:

$$\displaystyle y^{\prime}(x)=\frac{3}{2}C_1x^{\frac{1}{2}},\quad \displaystyle y^{\prime \prime}(x)=\frac{3}{4}C_1x^{-\frac{1}{2}}.$$

Uvrštavanjem derivacija u zadanu diferencijalnu jednadžbu slijedi

$$2x\cdot \frac{3}{4}C_1x^{-\frac{1}{2}}-\frac{3}{2}C_1x^{\frac{1}{2}}=0$$

pa zaključujemo da je $$y(x)=C_1x^{\frac{3}{2}}+C_2$$ opće rješenje zadane diferencijalne jednadžbe.

Da bismo odredili partikularno rješenje, u opće rješenje i njegovu prvu derivaciju ćemo uvrstiti zadane početne uvjete. Na taj način iz uvjeta $$y^{\prime}(1)=3$$ dobivamo $C_1=2$ , a potom, iz uvjeta $$y(1)=4$$ slijedi $C_2=2$ . Dakle, partikularno rješenje koje zadovoljava zadane početne uvjete glasi $$y(x)=2x^{\frac{3}{2}}+2$$ .