×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Bernoullijeva diferencijalna jednadžba     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Opće rješenje diferencijalne jednadžbe

Eulerova metoda

a)

Eulerovom metodom s korakom $0.5$ izračunajte približne vrijednosti za

$$y_{i}=y\left( x_{i}\right) ,\quad i=1,2,3,4,$$

gdje je $$y\left( x\right)$$ rješenje problema početnih vrijednosti

$$y^{\prime }=1+3x-2y,\quad y\left( 1\right)=2.$$

b)

Eulerovom metodom s korakom $$0.2$$ izračunajte približnu vrijednost $$y\left( 1\right)$$ , ako je $$y\left( x\right)$$ rješenje problema početnih vrijednosti

$$y^{\prime }=x+y^{2},\quad y\left( 0\right)=0.$$

Rješenje.

a)

Vrijedi

$$F\left( x,y\right) =1+3x-2y$$

$$x_{0} =1,\quad y_{0}=2.$$

Za korak $$h=0.5$$ vrijedi

$$x_{0}=1,\quad x_{1}=1.5,\quad x_{2}=2,\quad x_{3}=2.5,\quad x_{4}=3.$$

Formula za Eulerovu metodu [M2, poglavlje 5.4] daje:

$$y_{1} =y\left( x_{1}\right) =y\left( 1.5\right) =y_{0}+0.5\left( 1+3x_{0}-2y_{0}\right) =2+0.5\left( 1+3\cdot 1-2\cdot 2\right) =2$$

$$y_{2} =y\left( 2\right) =y_{1}+0.5\left( 1+3x_{1}-2y_{1}\right) =2+0.5\left( 1+3\cdot 1.5-2\cdot 2\right) =2.75$$

$$y_{3} =y\left( 2.5\right) =y_{2}+0.5\left( 1+3x_{2}-2y_{2}\right) =2.75+0.5\left( 1+3\cdot 2-2\cdot 2.75\right) =3.5$$

$$y_{4} =y\left( 3\right) =y_{3}+0.5\left( 1+3x_{3}-2y_{3}\right) =3.5+0.5\left( 1+3\cdot 2.5-2\cdot 3.5\right) =4.25.$$

b)

Vrijedi

$$F\left( x,y\right) =x+y^{2}$$

$$x_{0} =0,y_{0}=0$$

Za korak $$h=0.2$$ vrijedi

$$x_{0}=0,\quad x_{1}=0.2,\quad x_{2}=0.4,\quad x_{3}=0.6,\quad x_{4}=0.8,\quad x_{5}=1.$$

Koristeći formulu za Eulerovu metodu [M2, poglavlje 5.4], dobivamo

$$y_{1} =y_{0}+0.2\left( x_{0}+y_{0}^{2}\right) =0+0.2\left( 0+0^{2}\right) =0$$

$$y_{2} =y_{1}+0.2\left( x_{1}+y_{1}^{2}\right) =0+0.2\left( 0.2+0^{2}\right) =0.04$$

$$y_{3} =y_{2}+0.2\left( x_{2}+y_{2}^{2}\right) =0.04+0.2\left( 0.4+0.04^{2}\right) =0.12032$$

$$y_{4} =y_{3}+0.2\left( x_{3}+y_{3}^{2}\right) =0.12032+0.2\left( 0.6+0.12032^{2}\right) =0.2432153$$

$$y_{5} =y_{4}+0.2\left( x_{4}+y_{4}^{2}\right) =0.2432153+0.2\left( 0.8+0.2432153^{2}\right) =0.415046$$

$$= y\left( 1\right) .$$

Bernoullijeva diferencijalna jednadžba     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Opće rješenje diferencijalne jednadžbe