×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Polje smjerova     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Ortogonalne i izogonalne trajektorije


Eulerova metoda

Eulerova metoda je metoda za numeričko rješavanje diferencijalne jednadžbe prvog reda oblika

$\displaystyle y'=F(x,y),\qquad y(x_0)=y_0.
$

Želimo izračunati približnu vrijednost funkcije $ y$ u nekim točkama.

Metoda se temelji na aproksimaciji funkcije $ y$ pomoću prvog člana Taylorovog reda (vidi [*]M1, teorem 6.17):

$\displaystyle y(x+\Delta x)\approx y(x)+y'(x)  \Delta x.
$

Metoda se sastoji u sljedećem: za odabrani prirast $ \Delta x$ definiramo niz točaka

$\displaystyle x_0,\quad x_1=x_0+\Delta x,\quad x_2=x_1+\Delta x,\quad x_3=x_2+\Delta
x,\ldots,
$

U točki $ (x_0,y_0)$ derivacija funkcije $ y$ je $ y'=F(x_0,y_0)$ pa Taylorova formula povlači

$\displaystyle y(x_1)\equiv y_1=y_0+\Delta x  F(x_0,y_0).
$

Slično, vrijedi

$\displaystyle y_2$ $\displaystyle =y_1+\Delta x  F(x_1,y_1),$    
$\displaystyle y_3$ $\displaystyle =y_2+\Delta x  F(x_2,y_2),$    
  $\displaystyle \cdots$    

pa je, za zadanu točku $ (x_0,y_0)$ , Eulerova metoda definirana rekurzivnom formulom

$\displaystyle y_n=y_{n-1}+\Delta x  F(x_{n-1},y_{n-1}),\qquad n=1,2,\ldots
$

Primjer 5.11   Za diferencijalnu jednadžbu strujnog kruga iz primjera 5.2,

$\displaystyle \frac{dI}{dt}=\frac{E-R  I}{L}, \qquad L=4  \mathrm{H},\quad R=12  \mathrm{Ohm},\quad E=60 \mathrm{V},$ (5.1)

uz početni uvjet $ I(0)=0$ i korak $ \Delta t = 0.2   \mathrm{s}$ Eulerova metoda daje

$\displaystyle I(0)$ $\displaystyle =0,$    
$\displaystyle I(0.2)$ $\displaystyle =I(0)+0.2   (15 - 3\cdot I(0)) = 0+0.2  (15-3\cdot 0 ) = 3$    
$\displaystyle I(0.4)$ $\displaystyle =I(0.2)+0.2   (15 - 3\cdot I(0.2)) = 3+0.2  (15-3\cdot 3 ) = 4.2$    
$\displaystyle I(0.6)$ $\displaystyle = 4.2+0.2  (15-3\cdot 4.2 ) = 4.68$    
$\displaystyle I(0.8)$ $\displaystyle = 4.68+0.2  (15-3\cdot 4.68 ) = 4.872$    
$\displaystyle I(1)$ $\displaystyle = 4.872+0.2  (15-3\cdot 4.872 ) = 4.9488.$    

Za korak od $ \Delta t = 0.1   \mathrm{s}$ imamo redom

$\displaystyle I(0)$ $\displaystyle =0,$    
$\displaystyle I(0.1)$ $\displaystyle =1.5,$    
$\displaystyle I(0.2)$ $\displaystyle =2.55,$    
$\displaystyle I(0.3)$ $\displaystyle =3.285,$    
$\displaystyle I(0.4)$ $\displaystyle =3.79950,$    
$\displaystyle I(0.5)$ $\displaystyle =4.15965,$    
$\displaystyle I(0.6)$ $\displaystyle =4.41176,$    
$\displaystyle I(0.7)$ $\displaystyle =4.58823,$    
$\displaystyle I(0.8)$ $\displaystyle =4.71176,$    
$\displaystyle I(0.9)$ $\displaystyle =4.79823,$    
$\displaystyle I(1)$ $\displaystyle = 4.85876.$    

Sljedeći Matlab program računa i crta rješenje diferencijalne jednadžbe (5.1):

Octave On-line

     


[Octave On-line Home]    [Octave User's Guide]

Vidimo da Eulerova metoda stalno griješi, no očekujemo da će za dovoljno male korake rješenje biti točnije. Na slici 5.9 prikazana su rješenja jednadžbe (5.1) za korake $ \Delta t = 0.2   \mathrm{s}$ , $ \Delta t = 0.1   \mathrm{s}$ , $ \Delta t = 0.01   \mathrm{s}$ i točno rješenje $ I(t)=5-5 e^{3t}$ .

Slika 5.9: Eulerova metoda
\begin{figure}\centering
\epsfig{file=slike/eulr.eps,width=7.2cm}
\end{figure}

Zadatak 5.6   Izračunajte i skicirajte približno rješenje diferencijalne jednadžbe

$\displaystyle y'=y-e^{-x},\qquad y(0)=-1
$

na intervalu $ [0,1]$ uz korake $ \Delta x=0.2$ i $ \Delta x=0.1$ .


Polje smjerova     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Ortogonalne i izogonalne trajektorije