×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Linearne diferencijalne jednadžbe prvog     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Eulerova metoda

Bernoullijeva diferencijalna jednadžba

Odredite opće rješenje diferencijalnih jednadžbi:

a)

$$y^{\prime }-xy=-y^{3}e^{-x^{2}}$$ ,

b)

$$\left( x^{2}y^{3}+xy\right) y^{\prime }=1$$ .

Rješenje.

a)

Uvođenjem supstitucije

$$z =\frac{1}{y^{2}}$$

$$z^{\prime } =-2y^{-3}y^{\prime }$$

$$\frac{z^{\prime }}{-2} =\frac{y^{\prime }}{y^{3}}$$

i dijeljenjem zadane diferencijalne jednadžbe s $$y^{3}$$ dobivamo

$$\frac{y^{\prime }}{y^{3}}-\frac{x}{y^{2}} =-e^{-x^{2}}$$

$$\frac{z^{\prime }}{-2}-xz =-e^{-x^{2}}$$

$$z^{\prime }+2xz =2e^{-x^{2}},$$

što je linearna diferencijalna jednadžba. U formulu za rješavanje linearne diferencijalne jednadžbe [M2, poglavlje 5.8] uvrstimo

$$p\left( x\right) =2x, q\left( x\right) =2e^{-x^{2}}$$

i dobijemo

$$z =e^{-\int 2x dx}\left[ \int 2e^{-x^{2}}e^{\int 2x dx} dx+C\right]$$

$$z =e^{-x^{2}}\left[ \int 2e^{-x^{2}}e^{x^{2}} dx+C\right]$$

$$z =e^{-x^{2}}\left( 2x+C\right).$$

Vraćanjem susptitucije $$z=\frac{1}{y^{2}}$$ dobivamo

$$\frac{1}{y^{2}}=e^{-x^{2}}\left( 2x+C\right) .$$

b)

Neka je $$x=x\left( y\right)$$ . Tada je

$$y^{\prime }=\frac{dy}{ dx}=\frac{1}{\frac{ dx}{dy}}=\frac{1}{x^{\prime }}$$

pa zadanu diferencijlanu jednadžbu možemo pisati kao:

$$\left( x^{2}y^{3}+xy\right) \frac{1}{x^{\prime }} =1$$

$$x^{\prime } =\left( x^{2}y^{3}+xy\right)$$

$$x^{\prime }-xy =x^{2}y^{3}.$$

Dijeljenjem zadane diferencijalne jednadžbe s $$x^{2}$$ dobivamo

$$\frac{x^{\prime }}{x^{2}}-\frac{y}{x}=y^{3}$$ (5.6)

pa uvodimo supstituciju

$$z =\frac{1}{x}$$

$$z^{\prime } =-\frac{x^{\prime }}{x^{2}}$$

$$-z^{\prime } =\frac{x^{\prime }}{x^{2}}.$$

Sada diferencijalna jednadžba (5.6) glasi

$$z^{\prime }+yz=-y^{3}.$$

To je linearna diferencijalna jednadžba u kojoj je

$$p\left( y\right) =y, q\left( y\right) =-y^{3}$$

pa uvrštavanjem u formulu za rješavanje linearne diferencijalne jednadžbe [M2, poglavlje 5.8] dobivamo

$$z=e^{-\int ydy}\left[ -\int y^{3}e^{\int ydy}dy+C\right].$$

Rješavanjem integrala i vraćanjem supstitucije dobivamo konačno rješenje zadane diferencijalne jednadžbe:

$$\frac{1}{x}=2-y^{2}+Ce^{-\frac{y^{2}}{2}}.$$

Linearne diferencijalne jednadžbe prvog     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Eulerova metoda