Egzaktne diferencijalne jednadžbe i integrirajući faktor

Zadanu diferencijalnu jednadžbu možemo zapisati u obliku

$\displaystyle \sin y dx+x\cos ydy=0.$

Ovo je egzaktna diferencijalna jednadžba

[M2, poglavlje 5.7], jer vrijedi

$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\cos y=\frac{\partial Q}{\partial x}.$

Rješenje zadane diferencijalne jednadžbe dobije se rješavanjem integrala

$\displaystyle \int\limits_{x_{0}}^{x}P\left( x,y\right) dx+\int\limits_{y_{0}}^{y}Q\left( x_{0},y\right) dy=C.$

Za početnu točku $\left( x_{0},y_{0}\right)$ (uzmimo, na primjer, točku $\left( 0,0\right)$ ) vrijedi

$\displaystyle \int\limits_{0}^{x}\sin y dx+\int\limits_{0}^{y}0\cdot \cos ydy$	$\displaystyle =C$
$\displaystyle x\sin y\bigg\vert_{0}^{x}+0$	$\displaystyle =C$
$\displaystyle x\sin y$	$\displaystyle =C,$

i to je rješenje zadane diferencijalne jednadžbe.

Kako je $\displaystyle\lambda =\lambda \left( x\right)$ , koristimo formule za inetgrirajući faktor

[M2, poglavlje 5.7]. Vrijedi

$\displaystyle \lambda \left( x\right) =\pm e^{\int \frac{2x+x^{2}+y^{2}-2x}{x^{2}+y^{2}} }=\pm e^{\int dx}=\pm e^{x}.$

Rješenje dobivamo inetgriranjem:

$\displaystyle \int\limits_{x_{0}}^{x}\left( 2xy_{0}+x^{2}y_{0}+\frac{y_{0}^{3}}{3}\right) e^{x} dx+\int\limits_{y_{0}}^{y}\left( x^{2}+y^{2}\right) e^{x}dy=C.$

Na primjer, za početnu točku $\left( 0,0\right)$ je

$\displaystyle \int\limits_{0}^{x}\left( 2x\cdot 0+x^{2}\cdot 0+\frac{0^{3}}{3}\right) e^{x} dx+\int\limits_{0}^{y}\left( x^{2}+y^{2}\right) e^{x}dy$	$\displaystyle =C$
$\displaystyle 0+x^{2}e^{x}\int\limits_{0}^{y}dy+e^{x}\int\limits_{0}^{y}y^{2}dy$	$\displaystyle =C$
$\displaystyle x^{2}e^{x}y\bigg\vert_{0}^{y}+e^{x}\frac{y^{3}}{3}\bigg\vert_{0}^{y}$	$\displaystyle =C$
$\displaystyle x^{2}e^{x}y+e^{x}\frac{y^{3}}{3}$	$\displaystyle =C$
$\displaystyle e^{x}\left( x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}\right)$	$\displaystyle =C.$

Kako je $\displaystyle\lambda =\lambda \left( y\right)$ , koristimo formule za inetgrirajući faktor

[M2, poglavlje 5.7], pa je

$\displaystyle \lambda \left( x\right) =\pm e^{\int \frac{1+2xy+1}{-y\left( 1+xy... ... \frac{2}{y} dx}=\pm e^{-2\ln \left\vert y\right\vert }=\pm \frac{1}{y^{2}}.$

Rješenje dobivamo integriranjem

$\displaystyle \int\limits_{x_{0}}^{x}\frac{1+xy}{y} dx-\int\limits_{y_{0}}^{y}\frac{x_{0}}{y^{2} }dy=C.$

Na primjer, za početnu točku $\left( 0,1\right)$ je

$\displaystyle \int\limits_{0}^{x}\frac{1+xy}{y} dx-\int\limits_{1}^{y}\frac{0}{y^{2}}dy$	$\displaystyle =C$
$\displaystyle \frac{x}{y}\bigg\vert_{0}^{x}+\frac{x^{2}}{2}\bigg\vert_{0}^{x}$	$\displaystyle =C$
$\displaystyle \frac{x}{y}+\frac{x^{2}}{2}$	$\displaystyle =C.$