Diferencijalne jednadžbe koje se svode na homogene

Zadanu diferencijalnu jednadžbu možemo pisati kao

$\displaystyle \frac{dy}{ dx}=\frac{-7x+3y+7}{3x-7y-3}.$

(5.3)

Tražimo sjecište pravaca:

$\displaystyle -7\alpha +3\beta +7$	$\displaystyle =0$
$\displaystyle 3\alpha -7\beta -3$	$\displaystyle =0.$

Rješavanjem sustava dobije se $\displaystyle\alpha =1,\beta =0$ , pa zadanu diferencijalnu jednadžbu rješavamo supstitucijom

$\displaystyle x$	$\displaystyle =X+1$
$\displaystyle y$	$\displaystyle =Y.$

Uvrštavanjem u (5.3) dobivamo

$\displaystyle \frac{dY}{ dx}$	$\displaystyle =\frac{-7X+3Y-7+7}{3X-7Y+3-3}$
$\displaystyle \frac{dY}{ dx}$	$\displaystyle =\frac{-7X+3Y}{3X-7Y}.$	(5.4)

Ovo je homogena diferencijalna jednadžba koju rješavamo supstitucijom:

Uvrštavanjem u (5.4) dobivamo

$\displaystyle z^{\prime }X+z$	$\displaystyle =\frac{-7+3z}{3-7z}$
$\displaystyle \frac{dz}{ dX}X$	$\displaystyle =\frac{-7+3z-3z+7z^{2}}{3-7z}$
$\displaystyle \frac{-7z+3}{7\left( z^{2}-1\right) }dz$	$\displaystyle =\frac{ dX}{X}.$

Ovo je diferencijalna jednadžba sa separiranim varijablama pa je rješavamo integriranjem

$\displaystyle \int \frac{-7z+3}{7\left( z^{2}-1\right) }dz$	$\displaystyle =\int \frac{ dX}{X}$
$\displaystyle -\int \frac{z}{z^{2}-1}dz+\frac{3}{7}\int \frac{dz}{z^{2}-1}$	$\displaystyle =\int \frac{ dX}{X}$
$\displaystyle -\frac{1}{2}\ln \left( z^{2}-1\right) +\frac{3}{7}\cdot \frac{1}{2}\ln \frac{ z-1}{z+1}$	$\displaystyle =\ln CX.$

Sređivanjem dobivamo

$\displaystyle CX$	$\displaystyle =\left[ \left( z^{2}-1\right) ^{-7}\left( \frac{z-1}{z+1}\right) ^{3} \right] ^{\frac{1}{14}}$
$\displaystyle CX$	$\displaystyle =\left[ \left( z-1\right) ^{-4}\left( z+1\right) ^{-10}\right] ^{\frac{1 }{14}}$
$\displaystyle CX$	$\displaystyle =\left[ \left( z-1\right) ^{-2}\left( z+1\right) ^{-5}\right] ^{\frac{1 }{7}}.$

Vraćanjem susptitucije $\displaystyle z=\frac{Y}{X}=\frac{y}{x-1}$ dobivamo

$\displaystyle C\left( x-1\right)$

$\displaystyle =\left[ \left( \frac{y}{x-1}-1\right) ^{-2}\left( \frac{ y}{x-1}+1\right) ^{-5}\right] ^{\frac{1}{7}},$

odnosno,

$\displaystyle \left( y-x+1\right) ^{2}\left( y+x-1\right) ^{5}$

$\displaystyle =C.$

Pravci

$\displaystyle 2x+y-1$	$\displaystyle =0$
$\displaystyle 4x+2y+5$	$\displaystyle =0$

su paralelni $\left( \frac{4}{2}=\frac{2}{1}=2\right)$ pa koristimo supstituciju

Uvrštavanjem u zadanu diferencijalnu jednadžbu dobivamo