Ortogonalne trajektorije

Odredite ortogonalne trajektorije familije elipsa $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}$ .

Rješenje.

Derivirajnem dobivamo

$\displaystyle 2x+4yy^{\prime }$	$\displaystyle =0$
$\displaystyle x+2yy^{\prime }$	$\displaystyle =0.$

Diferencijalna jednadžba ortogonalnih trajektorija zadane familije elipsa dobije se uvrštavanjem $\displaystyle-\frac{1}{y^{\prime }}$ umjesto $\displaystyle y^{\prime}$ :

$\displaystyle x+2y\left( -\frac{1}{y^{\prime }}\right)$	$\displaystyle =0$
$\displaystyle x$	$\displaystyle =\frac{2y}{y^{\prime }}$
$\displaystyle y^{\prime }$	$\displaystyle =\frac{2y}{x}.$

Ovo je diferencijalna jednadžba sa separiranim varijablama pa vrijedi

$\displaystyle \frac{dy}{ dx}$	$\displaystyle =\frac{2y}{x}$
$\displaystyle \int \frac{dy}{y}$	$\displaystyle =\int\frac{2 dx}{x}$
$\displaystyle \ln y$	$\displaystyle =2\ln x+C$
$\displaystyle y$	$\displaystyle =Cx^{2}.$

Dakle, rješenje je familija parabola $y=Cx^{2}$ .

Egzaktne diferencijalne jednadžbe i DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE Singularna rješenja