Singularna rješenja

Deriviranjem zadane diferencijalne jednadžbe po $y^{\prime }$ dobivamo

$\displaystyle 2y-2xy^{\prime }=0.$

Da bi dobili potencijalna singularna rješenja zadane diferencijalne jednadžbe rješavamo sustav:

$\displaystyle 2y\left( y^{\prime }+2\right) -x\left( y^{\prime }\right) ^{2}$	$\displaystyle =0$
$\displaystyle 2y-2xy^{\prime }$	$\displaystyle =0.$

Iz druge jednadžbe slijedi

$\displaystyle y^{\prime }=\frac{y}{x}$

pa uvrštavanjem u prvu dobivamo

$\displaystyle 2y\left( \frac{y}{x}+2\right) -x\left( \frac{y}{x}\right) ^{2}$	$\displaystyle =0$
$\displaystyle \frac{2y^{2}}{x}+4y-\frac{y^{2}}{x}$	$\displaystyle =0$
$\displaystyle \frac{y^{2}}{x}+4y$	$\displaystyle =0$
$\displaystyle y^{2}+4xy$	$\displaystyle =0.$

Rješenja ove jednadžbe su

$\displaystyle y_{1}=0,\quad y_{2}=-4x.$

Da bi to bila singularna rješenja zadane diferencijalne jednadžbe nužno je i dovoljno je da je zadovoljavaju, pa ćemo to i provjeriti: za $\displaystyle y_{1}=0$ je

$\displaystyle 2y\left( y^{\prime }+2\right) -x\left( y^{\prime }\right) ^{2}$	$\displaystyle =0$
0	$\displaystyle =0,$

pa $\displaystyle y_{1}=0$ jest singularno rješenje. Za $\displaystyle y_{2}=-4x$ je

$\displaystyle 2y\left( y^{\prime }+2\right) -x\left( y^{\prime }\right) ^{2}$	$\displaystyle =0$
$\displaystyle -8x\left( -4+2\right) -16x$	$\displaystyle =0$
0	$\displaystyle =0,$

pa je i $\displaystyle y_{2}=-4x$ singularno rješenje zadane diferencijalne jednadžbe.

Deriviranjem zadane diferencijalne jednadžbe po $y^{\prime }$ dobivamo

$\displaystyle 2y\left( 2-3y\right) ^{2}=0.$

Rješimo sustav:

$\displaystyle \left( y^{\prime }\right) ^{2}\left( 2-3y\right) ^{2}$	$\displaystyle =4\left( 1-y\right)$
$\displaystyle 2y^{\prime }\left( 2-3y\right) ^{2}$	$\displaystyle =0.$

Iz prve jednadžbe slijedi

$\displaystyle y^{\prime }=\frac{2\sqrt{1-y}}{2-3y},$

pa uvrštavanjem u drugu dobivamo

$\displaystyle 2\frac{2\sqrt{1-y}}{2-3y}\left( 2-3y\right) ^{2}$	$\displaystyle =0$
$\displaystyle \sqrt{1-y}\left( 2-3y\right)$	$\displaystyle =0.$

Rješenja ove jednadžbe su

$\displaystyle y_{1}=1, \quad y_{2}=\frac{2}{3}.$

Provjerimo zadovoljavaju li ova rješenja početnu diferencijalnu jednadžbu: za $\displaystyle y_{1}=1$ je

$\displaystyle \left( y^{\prime }\right) ^{2}\left( 2-3y\right) ^{2}$	$\displaystyle =4\left( 1-y\right)$
0	$\displaystyle =0,$

pa $\displaystyle y_{1}=1$ jest singularno rješenje. Za $\displaystyle y_{2}=\frac{2}{3}$ je

$\displaystyle \left( y^{\prime }\right) ^{2}\left( 2-3y\right) ^{2}$	$\displaystyle =4\left( 1-y\right)$
$\displaystyle \left( 0\right) ^{2}\left( 2-3\frac{2}{3}\right) ^{2}$	$\displaystyle =4\left( 1-\frac{2}{3 }\right)$
0	$\displaystyle =\frac{4}{3},$

pa $\displaystyle y_{2}=\frac{2}{3}$ nije singularno rješenje zadane diferencijalne jednadžbe.