×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Površina ravninskog lika     ODREĐENI INTEGRAL     Volumen rotacijskog tijela


Duljina luka ravninske krivulje

a)
Nađite opseg lika omeđenog krivuljama: $ \displaystyle
y^{3}=x^{2}$ i $ y=\sqrt{2-x}$ ,

b)
Izračunajte duljinu luka krivulje \begin{displaymath}\displaystyle\left\{
\begin{array}{c}
x=\frac{1}{3}t^{3}-t \\
y=t^{2}+2
\end{array}\right. ,\end{displaymath} $ t\in \left[ 0,3\right] $ .

Rješenje.

a)
Krivulje $ \displaystyle
y^{3}=x^{2}$ i $ y=\sqrt{2-x}$ se sijeku u točkama $ A\left( 1,1\right) $ i $ B\left( -1,1\right) $ .
Slika 2.5: Duljina luka a)
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=duljinaluka2.eps, width=9.6cm}\end{center}\end{figure}

Ukupnu duljinu luka računat ćemo kao (vidi sliku 2.5)

$\displaystyle l=2\left( l_{1}+l_{2}\right) ,$    

koristeći formulu za duljinu luka krivulje [*][M2, poglavlje 2.6.2.1], pa je

$\displaystyle l_{1}$ $\displaystyle =\int\limits_{0}^{1}\sqrt{1+\frac{9}{4}y}dy=\frac{1}{2} \int\limi...
...t\limits_{0}^{1}\left( 4+9y\right) ^{\frac{1}{2}}\frac{1}{9}d\left( 4+9y\right)$    
  $\displaystyle =\frac{1}{18}\cdot \frac{2}{3}\left( 4+9y\right) ^{\frac{3}{2}}\bigg\vert _{0}^{1}=\frac{1}{27}\left( 13\sqrt{13}-8\right)$    

i

$\displaystyle l_{2}$ $\displaystyle =\int\limits_{0}^{1}\sqrt{1+\frac{x^{2}}{2-x^{2}}} dx=\sqrt{2} \int\limits_{0}^{1}\frac{ dx}{\sqrt{2-x^{2}}}=$    
  $\displaystyle =\sqrt{2}\arcsin \frac{x}{\sqrt{2}}\bigg\vert_{0}^{1}=\frac{\pi \sqrt{2}}{4 },$    

iz čega slijedi

$\displaystyle l=2\left[ \frac{1}{27}\left( 13\sqrt{13}-8\right) +\frac{\pi \sqrt{2}}{4}
\right] \approx 5.1.
$

b)
Za

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{c}
x=\frac{1}{3}t^{3}-t \\
y=t^{2}+2
\end{array}\right.
\end{displaymath}

je $ \displaystyle\overset{\cdot }{x}\left( t\right) =t^{2}-1$ i $ \overset{\cdot }{y}\left( t\right) =2t$ pa iz formule za duljinu luka krivulje zadane u polarnim koordinatama [*][M2, poglavlje 2.6.2.2] slijedi

$\displaystyle l$ $\displaystyle =\int\limits_{0}^{3}\sqrt{\left( t^{2}-1\right) ^{2}+4t^{2}}  dt...
...-2t^{2}+1+4t^{2}} dt=\int\limits_{0}^{3} \sqrt{\left( t^{2}+1\right) ^{2}} dt$    
  $\displaystyle =\int\limits_{0}^{3}\left( t^{2}+1\right)  dt=\left( \frac{t^{3}}{3} +t\right) \bigg\vert_{0}^{3}=12.$    


Površina ravninskog lika     ODREĐENI INTEGRAL     Volumen rotacijskog tijela